ช่วยแก้โจทย์ข้อสอบทุนหน่อยนะคะ

[ashiteruo]

1. Let x , y be the two natural number x<y x+y = 96 and the greatest common divisor of x and y is 16 Then find x and y.
2. Let A be a point on the curve C : x^2 + y^2 -2x-4 = 0. If the tangent line to c at A pass through P (4,3) then the length of AP is ?

ขอบคุณมากๆค่ะ

[Scylla_Shadow]

สวัสดีค่ะ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ashiteruo

1. Let x , y be the two natural number x<y, x+y = 96 and the greatest common divisor of x and y is 16 Then find x and y.

เพราะว่า ห.ร.ม. คือ 16 สมมุติให้ $x=16a$ และ $y=16b$ โดยที่ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $(a,b)=1$

เราจะได้ว่า $x+y=16a+16b=96$

ดังนั้น $a+b=6$

เพราะว่า $x<y$ จะได้ $a<b$ จึงเพียงพอที่จะพิจารณาแค่ $a=1,2$ (ถ้าเกินกว่านี้จะได้ว่า $a\geq b$)

ถ้า $a=1$ จะได้ $b=5$ ; $x=16$ และ $y=80$

ถ้า $a=2$ จะได้ $b=4$ ขัดแย้งกับ $(a,b)=1$ (เพราะ (a,b)=2)

ดังนั้น $x=16$ และ $y=80$

2. Let A be a point on the curve C : x^2 + y^2 -2x-4 = 0. If the tangent line to c at A pass through P (4,3) then the length of AP is ?

ขอบคุณมากๆค่ะ

พิจารณาเส้นโค้ง C: $x^2-2x-4+y^2=0$

$x^2-2x+1+y^2=5$

$(x-1)^2+y^2=(\sqrt{5})^2$

ดังนั้นเส้นโค้ง C คือ วงกลมรัศมี $\sqrt{5}$ หน่วย มีจุดศูนย์กลางที่ $(1,0)$

สมมุติจุดศูนย์กลางคือ B พิจารณาสามเหลี่ยม ABP มีมุม BAP เป็นมุมฉาก (AP สัมผัสวงกลม/เส้นโค้ง C)

$AP^2+BP^2=AB^2$

$AP^2+(\sqrt{5})^2=(\sqrt{(4-1)^2+(3-0)^2})^2$ (AB คือระยะทางระหว่าง $(4,3)$ กับ $(1,0)$)

$AP^2+5=3^2+3^2=18$

$AP^2=13$

$AP=\sqrt{13}$

ค่ะ มีปัญหาตรงไหนสอบถามได้นะคะ
สวัสดีค่ะ