ทำไม่ได้ครับ

[mathstudent2]

ช่วยทำอสมการข้อนี้หน่อยครับ

a+b+c=1 a,b,c มากกว่าหรือเท่ากับ 0

Prove that $a^2$b+$b^2$c+$c^2$a น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4/27

[viridae]

ใช่ของ hojoo lee รึเปล่าคะเนี่ย?

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ viridae

ใช่ของ hojoo lee รึเปล่าคะเนี่ย?

ไม่ใช่ครับ ข้อนี้ไม่ใช่ของ hojoo lee ครับ
ข้อนี้เป็นของ CMO ครับ
ดูในกระทู้เฉลย hojoolee สิครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mathstudent2

ช่วยทำอสมการข้อนี้หน่อยครับ

a+b+c=1 a,b,c มากกว่าหรือเท่ากับ 0

Prove that $a^2$b+$b^2$c+$c^2$a มากกว่าหรือเท่ากับ 4/27

$\leq$ หรือเปล่าครับ ข้อนี้เป็นข้อสอบ CMO1999

เป็นโจทย์อสมการที่พิสูจน์ยากมากทีเดียว

เพราะิอสมการไม่มีสมมาตรและหาเงื่อนไขที่ทำให้สมการเป็นจริงได้ยาก

โจทย์ข้อนี้มีเฉลยในหนังสือ 1999 National Contests: Problems and Solutions ของ Titu Andreescu

ถ้าไม่มีเดี๋ยวเอามาลงให้ครับ

[mathstudent2]

คุณ nooonuii เอาหนังสือลงได้มั้ยครับ
เพราะว่าหนังสือเล่มนี้ผมยังไม่มีเลย

[square1zoa]

WLOG สมมติว่า $a\leqslant b\leqslant c$ ดังนั้น $$(b-a)(b-c)\leqslant 0\leqslant ab$$

จัดรูปใหม่ได้ว่า $$a^2b+b^2c+c^2a\leqslant (a+c)^2b=(1-b)^2b$$
$$\leqslant 4\left(\,\frac{\frac{1}{2}(1-b)+\frac{1}{2}(1-b)+b}{3} \right)^3 =\frac {4}{27}$$

[RoSe-JoKer]

ครับแล้วก็มาดูวิธีของผมบ้างนะครับ Homogenize อสมการก่อนจะได้ว่าเราต้องพิสูจน์ว่า
$4\sum_{cyc}a^3+24abc+12\sum_{cyc}ab^2-15\sum_{cyc}a^2b\geq 0$
จาก CID Theorem เราจะต้องทำการพิสูจน์ว่า
$1.P(1,1,1)$ จริง
$2.P(a,b,0)$ จริง
กรณี $1.P(1,1,1)$
เห็นได้ว่า
$L.H.S=27\geq 0 $เป็นจริง
กรณี $2.P(a,b,0)$
ได้ว่าเราต้องพิสูจน์ว่าอสมการ
$4a^3-15a^2b+12ab^2+4b^3\geq 0$ เป็นจริงหรือนั้นคือ
$4x^3-15x^2+12x+4\geq 0$ สำหรับ Positive Real x นั้นเอง
ให้ $f(x)=4x^3-15x^2+12x+4$ เห็นได้ว่า
$f'(x)=(2x-1)(x-2)$
นั้นคือ $f(x)$ เป็นฟังก์ชั่นเพิ่มบนช่วง $x\in (-\infty,\frac{1}{2}]U[2,\infty)$
และเห็นได้ว่าในช่วง $x\in (\frac{1}{2},2)$ นั้น $min f(x)$ เกิดขึ้นเมื่อ $x->2$ นั้นคือเมื่อแทนค่าไปแล้วได้ว่า $f(2)=0$ นั้นเอง
แสดงว่า $f(x)\geq 0$ เป็นจริง
และนั้นคืออสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $c=0$ และ $a=2b$ :-)
ดังนั้นจาก CID Theorem เราจึงได้ว่าอสมการที่กำหนดมาให้เป็นจริงนะครับคุณ mathstudent2 ว่าที่เหรียญเงินสสวท ปี 2551 จาก Rose_joker ผู้ตกรอบและไม่ได้เหรียญในการแข่งขันสสวทปี 2551

[dektep]

solution จากหนังสือ Mathematical Olympiads: Problems and Solutions From Around the World, 1999-2000 ครับ

[mathstudent2]

ขอบคุณมากครับ
ทุกคนนี่เทพกันจังเลย

[square1zoa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

(Edit: Comment ผมคิดว่า solution ของ rep ข้างบนเจ๋งกว่าของผมเยอะเลยครับ :-) )
ครับแล้วก็มาดูวิธีของผมบ้างนะครับ Homogenize อสมการก่อนจะได้ว่าเราต้องพิสูจน์ว่า
$ดังนั้นจาก CID Theorem เราจึงได้ว่าอสมการที่กำหนดมาให้เป็นจริงนะครับคุณ mathstudent2 ว่าที่เหรียญเงินสสวท ปี 2551 จาก Rose_joker ผู้ตกรอบและไม่ได้เหรียญในการแข่งขันสสวทปี 2551

1. ของเราเหรอ

2. CID Theorem คือ? อธิบายด้วยครับ ไม่รู้จักจริง ของshurด้วย (พิมพ์ถูกหรือเปล่าครับ)

3.น้องrose joker ติดอยุ่แล้วครับ สู้ๆๆละกันครับ

[RoSe-JoKer]

1.ใช่ครับผมคิดว่าเป็นวิธีทำที่ดูสวยมากๆๆๆๆๆเลย เอาเป็นว่า
for( ;; )
{
printf("สวย");
}
ได้เลยอะครับ 55+
2.
Schur's inequality เป็นอสมการที่อยู่ในรูป $\sum_{cyc}x^r(x-y)(x-z)\geq 0$ ซึ่งอสมการนี้จะเป็นจริงสำหรับ $x,y,z>0$ อะครับส่วน
CID Theorem เป็นอสมการที่กล่าวไว้เฉพาะสำหรับ อสมการดีกรี 3 คือถ้าให้
$P(a,b,c)=p(\sum_{cyc}a^3)+q\sum_{cyc}a^2b+r\sum_{cyc}ab^2+3spqr$
เราจะได้ว่า $P(a,b,c)\geq 0$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อ
$1.P(1,1,1)\geq 0$
$2.P(a,b,0)\geq 0$
3.ผมไม่ติดแน่นอนครับ แต่แน่ใจหรอครับว่าผมเป็นน้อง?? 555+

[square1zoa]

แน่ใจสิ เห็นตอนสอบสสวท.รอบ2นิ เอาเป็นว่าเป็น1ในนั้นแน่นอนครับและที่สำคัญ ไม่ใช่เด็กกทม.แน่นอนครับ

และขอบคุณมากครับสำหรับอสมการตัวใหม่(สำหรับผม)

[RoSe-JoKer]

เออ น่ากลัวว่าจะมีคนแอบอ้าง..... 555+ ผมอยู่ ม.5 แล้วนะครับจะไปเป็นน้องได้อย่างไร 555+

[square1zoa]

เอ่อ เราม.6อ่า เหอๆๆๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

WLOG สมมติว่า $a\leqslant b\leqslant c$ ดังนั้น $$(b-a)(b-c)\leqslant 0\leqslant ab$$

จัดรูปใหม่ได้ว่า $$a^2b+b^2c+c^2a\leqslant (a+c)^2b=(1-b)^2b$$
$$\leqslant 4\left(\,\frac{\frac{1}{2}(1-b)+\frac{1}{2}(1-b)+b}{3} \right)^3 =\frac {4}{27}$$

ปัญหาคือมันเสียนัยทั่วไปนี่แหละครับ มันถึงยาก

ผมว่าวิธีนี้คือกรณีแรกที่น้อง dektep เอามาโพสต์นั่นเองครับ

ยังไงก็ต้องทำกรณีที่ 2 ด้วยครับ