|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
:: หาความยาวรอบรูป สามเหลี่ยม
จงหาความยาวรอบรูปที่น้อยที่สุดของสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง ที่ภายในมีวงกลมรัศมี 2 หน่วย แนบในอยู่ครับ
|
#2
|
|||
|
|||
ไม่ทราบเหมือนกัน แต่เท่าที่ลองๆขีดๆเขียนๆรูปดู
วงกลมรัศมี 2 หน่วย ที่แนบในสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมด้านเท่าน่าจะมีเส้นรอบรูปสั้นที่สุด ? ถ้าเป็นอย่างนั้น เส้นรอบรูปก็เท่ากับ $12\sqrt{3} \ $หน่วย ประเด็นคือจะพิสูจน์อย่างไรว่า ในบรรดาสามเหลี่ยมที่มีวงกลมรัศมีเท่ากันแนบใน สามเหลี่ยมด้านเท่ามีเส้นรอบรูปสั้นที่สุด
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#3
|
||||
|
||||
จากรูป ถ้าให้ z = ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม และ r = รัศมีวงกลม
จะได้ว่า $z = 2r(tan\theta +tan\phi -tan(\theta +\phi )) $ โดยที่ $0<\theta ,\phi <\pi /2$ จากนั้นหา $ \theta , \phi$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขและทำให้ $z$ มีค่าน้อยสุดโดยใช้แคลคูลัส (ถ้าไม่มีคนสงสัยก็ขอละไว้นะคะเราขี้เกียจพิมพ์) ก็จะได้ $\theta = \pi/3 $ และ $\phi = \pi/3$ จึงจะทำให้ $z$ มีค่าน้อยสุด ดังนั้นสามเหลี่ยมที่มีความยาวเส้นรอบรูปน้อยที่สุดที่มีวงกลมแนบในอยู่ต้องเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ปล. เป็นวิธีพิสูจน์เท่าที่เรานึกออกอ่ะค่ะ บางทีอาจมีวิธีที่ง่ายกว่านี้ก็ได้
__________________
Who owns the throne? |
#4
|
||||
|
||||
จากความรู้ที่ว่า เส้นตรงเส้นหนึ่ง ถ้าเรานำเส้นตรงนี้ไปขดเป็นรูปทรงเรขาคณิต(2มิติ) รูปวงกลมจะเป็นรูปมีพื้นที่มากที่สุด และ ขนาดของพื้นที่จะค่อยๆเล็กลงมาเรื่อยๆ เช่น ถ้านำไปขดเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่า ก็จะมากกว่า พื้นที่ของรูป n-1 เหลี่ยมด้านเท่า ในทำนองเดียวกัน พื้นที่ของรูป n-1 เหลี่ยมด้านเท่า ก็จะมากกว่า พื้นที่ของรูป n-2 เหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งก็จะเป็นแบบนี้ไปเรื่อยๆ จนเมื่อ n = 3 ซึ่งก็คือรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จะมีพื้นที่มากที่สุด ในบรรดารูปสามเหลี่ยมทั้งหมด (เมื่อความยาวรอบรูปเท่ากัน) ดังนั้น พื้นที่ของวงกลมที่มากที่สุด ที่แนบในรูปสามเหลี่ยมด้่านเท่า ก็ต้องมีขนาดมากกว่า รูปวงกลม ที่แนบในรูปสามเหลี่ยมแบบอื่นๆ เพราะรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีพื้นที่มากกว่าสามเหลี่ยมแบบอื่นๆ เมื่อความยาวรอบรูปเท่ากัน
ผมเข้าใจแบบนี้ แต่ยังหาบทที่ถูกต้องไม่ได้ เข้าใจว่า น่าจะมีบทพิสูจน์ทางเรขาคณิตไว้แล้ว |
#5
|
||||
|
||||
อีกวิธีครับ
ให้ $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ เมื่อ $a,b,c$ เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยม $r$ แทนรัศมี และ $A$ แทนพื้นที่ สามารถพิสูจน์ได้ง่ายว่า $A=rs$ พิจารณา Heron's formula $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ ตรงนี้คือต้องการหาว่าในบรรดาสามเหลี่ยมที่มีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากัน สามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีพื้นที่มากสุด นั่นคือพิ้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆจะมากสุดเมื่อ $a=b=c=\frac{a+b+c}{3}=\frac{2s}{3}$ นั่นคือต้องการพิสูจน์ว่า $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \le \sqrt{s(s-\dfrac{2s}{3})(s-\dfrac{2s}{3})(s-\dfrac{2s}{3})} = \sqrt{\dfrac{1}{27}}s^2$ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยอสมการ A.M.-G.M $(s-a)(s-b)(s-c) \le (\dfrac{3s-a-b-c}{3})^3 = \dfrac{1}{27}s^3$ $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\le \sqrt{\dfrac{1}{27}}s^2$ แทนค่าใน $A=rs$ $2s \le \sqrt{\dfrac{1}{27}}s^2$ $s \le 0$ หรือ $s \ge 2\sqrt{3}$ แต่ $s > 0$ นั่นคือ $a+b+c = 2s \ge 4\sqrt{3}$ และจากที่คุณ banker พบว่าสามเหลี่ยมด้านเท่ามีเส้นรอบรูป $4\sqrt{3}$ เส้นรอบรูปที่น้อยที่สุดจึงเป็น $4\sqrt{3}$ ครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 16 กรกฎาคม 2012 17:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 เหตุผล: เพิ่มคำอธิบาย |
|
|