สมการพหุนาม

[Julian]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เปียโน

จากสมการ $$x^3-8x^2+cx+d = 0 (สมมุติให้ X เท่ากับ 1)$$
จะได้ $$1(1)^3-8(1)^2+c(1)+d = 0$$
$$1-8+c+d = 0$$
$$-7+c+d = 0$$
$$c+d = 7$$
ถูกหรือเปล่าค่ะ หนูแค่ลองมั่วๆน่ะค่ะ

อธิบายต่อจากคุณหยินหยางนิดนึง

ถ้าผมสมมุติให้ คำตอบของสมการคือ -1 , 2 , 7 แล้ว c+d ได้ค่านึง

แต่ถ้าสมมุติอีก คำตอบของสมการคือ -1 , 3 , 6 แล้ว c+d ก็ได้อีกค่านึง

ผมยังไม่ได้ตรวจสอบนะ ว่า มันเท่ากันรึเปล่า แต่คิดว่าคงไม่

ผมว่า c+d น่าจะมีหลายกรณีอยู่ แต่ก็ทำไงได้ นั่งนับไป

และจาก อสมการในเรปก่อนๆ ก็คงไม่เยอะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Julian

อธิบายต่อจากคุณหยินหยางนิดนึง

ถ้าผมสมมุติให้ คำตอบของสมการคือ -1 , 2 , 7 แล้ว c+d ได้ค่านึง

แต่ถ้าสมมุติอีก คำตอบของสมการคือ -2 , 2 , 8 แล้ว c+d ก็ได้อีกค่านึง

ผมยังไม่ได้ตรวจสอบนะ ว่า มันเท่ากันรึเปล่า แต่คิดว่าคงไม่

ผมว่า c+d น่าจะมีหลายกรณีอยู่ แต่ก็ทำไงได้ นั่งนับไป

และจาก อสมการในเรปก่อนๆ ก็คงไม่เยอะครับ

ตรงสีแดงไม่ใช่ครับ

[Julian]

จริงด้วยครับ จะรีบแก้ไข

[Puriwatt]

มีแค่ 6 ชุดครับคือ (-1, 7, 2), (-1, 6, 3), (-1, 5, 4), (-2, 7, 3), (-2, 6, 4) และ(-2, 5, 5)
ถ้ามีคนอยากรู้วิธี เดี๋ยวจะตอบให้ครับ

ตอนแรกพิมพ์ผิด Copy เพลินไปหน่อย --> ตอนนี้แก้ให้แล้วครับ

[Puriwatt]

สมมุติให้สมการ $x^3 - 8x^2+cx+d = 0$ มีรากทั้งสามตัวที่เป็นจำนวนเต็มคือ l, m และ n

จะได้ว่า $(x-l)\cdot (x-m)\cdot (x-n) = 0$ หรือ $x^3 -(l+m+n)x^2+(lm+ln+mn)x-lmn = 0$

เมื่อเทียบ ส.ป.ส. จะพบว่า (l+m+n) = 8; (lm+ln+mn) = c (โดยที่ c>0) และ -lmn = d (โดยที่ d>0)

จากเงื่อนไขที่ 3 เราจะพบว่า l,m,n อาจจะเป็นลบเพียงตัวเดียว หรือเป็นลบทั้ง 3 ตัว (อย่างใดอย่างหนึ่ง)
แต่จากเงื่อนไขแรก (l+m+n) = 8 > 0 ทำให้ไม่มีทางเป็นลบทั้ง 3 ตัวพร้อมกัน

สมมุติให้ $l < 0$ และให้ $k = -l$, แล้วจะพบว่า k, m, n, c และ d เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0

ดังนั้นแทนค่าได้ $m+n-k = 8$ --> จัดรูปได้ $m+n = 8+k$ ---- (1)

และจะได้ $c = mn - km -kn = mn - k(8+k)$ หรือ $mn = c + k(8+k)$ ---- (2)

และจะได้ $d = kmn = k(c + k(8+k))$ ---- (3)

CASE01: k = 1, m+n = 9, mn = c + 9 และ d = c + 9
เนื่องจาก (c > 0) และ (mn = c + 9) ดังนั้นจะได้เงื่อนไขว่า (mn > 9)
แทนค่า m และ n ที่ (m+n) = 9 และสอดคล้องกับเงื่อนไข (mn > 9) จะได้ (m,n) = (7,2), (6,3)และ (5,4)
แล้วจะได้ (c+d) = (5+14=19), (9+18=27) และ (11+20=31) ครับ

CASE02: k = 2, m+n = 8+2 = 10, mn = c+k(8+k) = c+20 และ d = 2mn
เนื่องจาก (c > 0) และ (mn = c + 20) ดังนั้นจะได้เงื่อนไขว่า (mn > 20)
แทนค่า m และ n ที่ (m+n) = 10 และสอดคล้องกับเงื่อนไข (mn > 20) จะได้ (m,n) = (7,3), (6,4)และ (5,5)
แล้วจะได้ (c+d) = (1+42=43), (4+48=52) และ (5+50=55) ครับ

CASE03: k = 3, m+n = 8+3 = 11, mn = c+k(8+k) = c+33 และ d = 3mn
เนื่องจาก (c > 0) และ (mn = c+33) ดังนั้นจะได้เงื่อนไขว่า (mn > 33)
แทนค่า m และ n ที่ (m+n) = 11 และสอดคล้องกับเงื่อนไข (mn > 33) จะไม่พบเงื่อนไขที่สอดคล้องครับ

สรุป: มีเพียงรากของสมการ (l,m,n) = (-1,7,2), (-1,6,3), (-1,5,4), (-2,7,3), (-2,6,4) และ(-2,5,5)
เท่านั้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่โจทย์ให้มา และ (c+d) = 19, 27, 31, 43, 52 และ 55 ครับ

กรุณาตรวจสอบคำตอบให้ผมด้วยนะครับ และถ้าพบว่าตรงไหนบวกเลขผิดก็ช่วยแก้ให้ด้วยครับ

[เปียโน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

มีแค่ 6 ชุดครับคือ (-1, 7, 2), (-1, 6, 3), (-1, 5, 4), (-1, 7, 3), (-1, 6, 4) และ(-2, 5, 5)
ถ้ามีคนอยากรู้วิธี เดี๋ยวจะตอบให้ครับ

ตรงสีแดงใช่ด้วยหรอค่ะ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เปียโน

ตรงสีแดงใช่ด้วยหรอค่ะ

พิมพ์ผิดครับ