|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
20 เมษายน 2010, 09:57
|
|||
|
|||
สำหรับการพิสูจน์ลิมิต Delta & Epsilon คืออะไร ใครเป็นคนคิดอ่ะ
รบกวนช่วยประมวลความคิดของแต่ละท่านด้วยน่ะคับ
หรือว่าเป็นค่าที่ใช้สำหรับการพิสูจน์ลิมิตเท่านั้น แล้วเรื่องอื่นหล่ะมีป่าวคับ รบกวนหน่อย  
|
|
#2
20 เมษายน 2010, 13:01
|
||||
|
||||
|
ลองอ่านจากลิงค์พวกนี้ดูก่อนนะครับ
Calculus/Formal Definition of the Limit (ε, δ) limit-definition Limit (mathematics) (wiki) (ε, δ)-definition of limit (wiki) Epsilon-Delta Definition
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish.
|
|
#3
21 เมษายน 2010, 20:18
|
|||
|
|||
|
ดีมากเลย เริ่มเข้าใจนิดนึง ว่าแต่ถ้าในกรณีที่ลิมิตหาค่าไม่ได้ เราจะพิสูจน์ยังไง หรือใช้ Contraposition Proof
|
|
#5
22 เมษายน 2010, 11:08
|
|||
|
|||
|
โจทย์ก็ ลิมิตของ sin(1/x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ไม่มีค่าเกิดขึ้น เราจะต้องวิเคราะห์โจทย์หาเดลต้า ช่ายป่าวคับ
โดยที่ใช้การพิสูจน์แบบตรงข้าม โดยสมมติให้มีค่าเกิดขึ้น หยี่งนี้หรือป่าว ผมยังไม่พิสูจน์เลย อิอิ หาแนวทางให้ได้ก่อน ^^ ช่วยหน่อยนะคับบ แลกเปลี่ยนการพิสูจน์เรื่องกันต่อไป เรื่อย ๆๆ เพราะว่ามันน่าสนใจดี
|
|
#6
23 เมษายน 2010, 11:39
|
|||
|
|||
|
ให้ $L$ เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่เป็นศูนย์ เลือก $\epsilon=\dfrac{|L|}{2}$
สำหรับแต่ละ $\delta >0$ เลือก $x=\dfrac{1}{n\pi}$ สำหรับบางค่า $n$ ซึ่งทำให้ $\dfrac{1}{n\pi}<\delta$ จะได้ว่า $|x|<\delta$ แต่ $|\sin{(1/x)}-L|=|L|> \dfrac{|L|}{2}=\epsilon$ สำหรับ $L=0$ เลือก $\epsilon=\dfrac{1}{2}$ สำหรับแต่ละ $\delta >0$ เลือก $x=\dfrac{2}{(4n+1)\pi}$ สำหรับบางค่า $n$ ซึ่งทำให้ $\dfrac{2}{(4n+1)\pi}<\delta$ จะได้ว่า $|x|<\delta$ แต่ $|\sin{(1/x)}-L|=1> \dfrac{1}{2}=\epsilon$ ดังนั้น $\lim_{x\to 0}\sin{\dfrac{1}{x}}$ หาค่าไม่ได้
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 23 เมษายน 2010 11:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
|
|
#8
24 เมษายน 2010, 21:43
|
|||
|
|||
|
$x$ เลือกมาจากคุณสมบัติที่ว่า $\sin{n\pi}=0$ และ $\sin{(\frac{1}{2}+2n)\pi}=1$
ค่า $\epsilon$ เลือกมาทีหลัง หลังจากใส่ค่า $x$ ลงไป แล้วดูผลต่าง $|\sin{\frac{1}{x}}-L|$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#10
25 เมษายน 2010, 12:20
|
|||
|
|||
|
อยากทราบว่า ถ้าพิสูจน์ลิมิตของ (3x-1)/(x-5) เมื่อ x เข้าใกล้ 3 เท่ากับ -4 โดยเค้าบอกว่าใช้เดลต้าเท่ากับ Delta (min) = (1,epsilon/7 )
ทำไมต้องเลือก Delta(1) = 1 and Delta (2) = epsilon / 7 และ สามารถเลือก Delta (1)= 1/2 ได้หรือไม่ ส่วนอันนี้ ถ้าเป็น lim (3x-1)/(x-5) เมื่อ x เข้าใกล้ 4 เท่ากับ -11 ทำไมต้องเลือก Delta (1) = 1/2 แล้วทำไมไม่เลือก Delta (1)= 1 ? ปล. รบกวนด้วยน่ะคับ
|
|
#11
25 เมษายน 2010, 13:15
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
ให้ $\epsilon >0$ เลือก $\delta = \dfrac{\epsilon}{\epsilon+7}$ จะเห็นว่า $\delta < 1$ ถ้า $|x-3|<\delta$ แล้ว $-\delta < x-3 < \delta$ $-\delta - 2 < x-5 < \delta - 2$ $2-\delta < 5-x < \delta + 2$ ดังนั้น $|x-5|=5-x > 2-\delta$ จึงได้ $\Big|\dfrac{3x-1}{x-5}+4\Big|=\dfrac{7|x-3|}{|x-5|}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~<\dfrac{7\delta}{2-\delta}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{7\epsilon}{\epsilon+14}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~<\epsilon$ แต่เลือก $\dfrac{1}{2}$ คงไม่ได้เพราะมันเจาะจงค่าเกินไป ส่วนใหญ่ต้องเลือกให้เป็นฟังก์ชันของ $\epsilon$ ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#12
25 เมษายน 2010, 22:36
|
|||
|
|||
|
นั่นหมายความว่า เราไม่จำเป็นต้องกำหนดแบบนั้นช่ายป่ะ
แต่ให้เราพิจารณาสิ่งที่เรามีอยู่ นั่นคือ 0<abs(x-a)< Delta โดยที่ Abs(f(x)-L)< Epsilon โดยที่ Epsilon and Delta > 0 และอยากทราบว่า พี่กำหนด เดลต้ายังไง หรือว่ามาจาก 0<abs(x-a)< Delta โดยปรับให้อยู่ให้รูปของ Epsilon ที่เอาไปสมมูลกับ Abs(f(x)-L) < Epsilon ใช่มั๊ยคับ ( จากที่พี่ทำให้ข้างบน )
|
|
#14
26 เมษายน 2010, 05:39
|
|||
|
|||
|
แนวทางของอาจารย์ NOOONUII ต้องดูว่าฟังก์ชันนั้นต่อเนื่องอย่างสม่ำเสมอด้วยใช่ไหมครับ
เพราะถ้าไม่ต่อเนื่องอย่างสม่ำเสมอแล้ว จะเลือกเดลต้าขึ้นกับเอปซิลอนค่าเดียวไม่ได้ นั่นคือ อาจารย์รู้มาล่วงหน้าแล้วว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องอย่างสม่ำเสมอ รบกวนด้วยครับ ผมคิดถูกไหม ผมสงสัยมากครับ
|
|
#15
26 เมษายน 2010, 10:27
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
เลือกตามนิยามของลิมิตโดยตรงเลยครับ โจทย์อยากได้อะไรก็มองไปที่เงื่อนไขนั้น แล้วก็พยายามจัดรูปให้ได้ค่าประมาณของ $\delta$ เริ่มจาก $\Big|\dfrac{3x-1}{x-5}+4\Big|=\dfrac{7|x-3|}{|x-5|}$ เรารู้ว่า $|x-3|<\delta$ จึงได้เป็น $\dfrac{7|x-3|}{|x-5|}<\dfrac{7\delta}{|x-5|}$ คราวนี้มันจะติดเทอม $|x-5|$ อยู่ จึงหาทาง เปลี่ยนให้ขึ้นกับ $\delta$ โดยการเล่นกับอสมการ $|x-3|<\delta$ $-\delta -2 < x - 5 < \delta - 2$ เนื่องจาก $\delta$ ควรจะมีค่าน้อยๆ จึงสมมติว่า $\delta < 2$ เอาไว้ก่อน ซึ่งถ้าสมมติเงื่อนไขนี้เราจะได้ $2-\delta < 5-x < \delta + 2$ ซึ่งจะได้ $2-\delta < |x-5|$ $\dfrac{1}{|x-5|}<\dfrac{1}{2-\delta}$ จึงได้ว่า $\dfrac{7|x-3|}{|x-5|}<\dfrac{7\delta}{2-\delta}$ ดังนั้น $\Big|\dfrac{3x-1}{x-5}+4\Big|<\dfrac{7\delta}{2-\delta}$ แต่เราอยากได้ว่า $\Big|\dfrac{3x-1}{x-5}+4\Big|<\epsilon$ ถ้าเราบีบให้ $\dfrac{7\delta}{2-\delta}<\epsilon$ เราก็จะได้อสมการที่ต้องการ จากอสมการนี้แก้อสมการได้ว่า $\delta < \dfrac{2\epsilon}{\epsilon + 7}$ ดังนั้นเราก็เลือก $\delta$ เป็นอะไรก็ได้ที่น้อยกว่า $\dfrac{2\epsilon}{\epsilon + 7}$ และต้องไม่ลืมเงื่อนไขที่ว่า $\delta<2$ ด้วย แต่้เงื่อนไขนี้จะถูกกลืนไปด้วยเงื่อนไข $\delta < \dfrac{2\epsilon}{\epsilon + 7}$ เพราะว่า $ \dfrac{2\epsilon}{\epsilon + 7}<2$ เสมอ จึงเลือก $\delta$ ให้ขึ้นกับเงื่อนไข $\delta < \dfrac{2\epsilon}{\epsilon + 7}$ ก็พอ ที่อธิบายมาทั้งหมดเป็นวิธีคิดในเศษกระดาษครับ เวลาเขียนพิสูจน์ก็นำมาเรียบเรียงใหม่ให้สละสลวย เหมือนที่ผมอธิบายไว้ข้างบนครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
| |
|
|
