[เพชรยอดมงกุฏ 2554] โจทย์น่าคิด

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

1. $N=2^{22}+1=a \times b \times c$ เมื่อ $1<a<b<c$ จงหาว่า $a+b+c$

2. $U=\{ f|f: \{1,2,...,10 \} \rightarrow \{1,2,...,10\},fเป็น1-1\}$
และ $X=\{f \in U|$ $|x-f(x)|\le1$ ทุกๆ $x \in \{1,2,...,10\} \}$
จงหาว่า $|X|$ ตรงกับข้อใด

3. $U=\{ f|f: \{1,2,3,4\} \rightarrow \{a,b,c,d\} \}$ และ $X=\{f \in U|$ $f(1)\not= f(2) \not= f(3) \not= f(4) \not= f(1) \}$
จงหาว่า $|X|$ ตรงกับข้อใด

4. ให้ $z_1,z_2,z_3,z_4$ คือคำตอบทั้งหมดของสมการ
$$z^4-4iz^3-6z^2-4iz+2=0$$
จงหาค่า $|z_1|+|z_2|+|z_3|+|z_4|$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ช่วยข้อ $1,2,4$ หน่อยครับ

[polsk133]

4. $(z-i)^4+1=0$

[Aquila]

ลองมองเป็น $2^{22}+2\cdot 2^{11}+1-2^{12}$

ข้อ 2 ขี้เกียจคิดมากเลยครับ ให้คนอื่นละกัน

[Thgx0312555]

ข้อ 4 โจทย์ควรจะเป็น $(z-i)^4+1 = z^4-4iz^3-6z^2$$+4iz$$+2=0$ หรือเปล่าคร

ข้อ 2 ก็คือ $f(x) \not= x$ ครับ ลองใช้หลักเพิ่มเข้าตัดออกดู (PIE)

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

1. $N=2^{22}+1=a \times b \times c$ เมื่อ $1<a<b<c$ จงหาว่า $a+b+c$

2. $U=\{ f|f: \{1,2,...,10 \} \rightarrow \{1,2,...,10\},fเป็น1-1\}$
และ $X=\{f \in U|$ $|x-f(x)|\ge1$ ทุกๆ $x \in \{1,2,...,10\} \}$
จงหาว่า $|X|$ ตรงกับข้อใด

3. $U=\{ f|f: \{1,2,3,4\} \rightarrow \{a,b,c,d\} \}$ และ $X=\{f \in U|$ $f(1)\not= f(2) \not= f(3) \not= f(4) \not= f(1) \}$
จงหาว่า $|X|$ ตรงกับข้อใด

4. ให้ $z_1,z_2,z_3,z_4$ คือคำตอบทั้งหมดของสมการ
$$z^4-4iz^3-6z^2-4iz+2=0$$
จงหาค่า $|z_1|+|z_2|+|z_3|+|z_4|$

ข้อ 3. $f(x) \ne x$ คือ Derangment , $D_{10}$ นั่นเอง

$D_{n} = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$ โดยที่ $D_1 = 0, D_2 = 1$

เช่น $D_{3} = (2)(D_{1} + D_{2}) = 2(1) = 2$

$D_{4} = (3)(D_{2} + D_{3}) = 2(3) = 9$

ไล่ไปเรื่อย ๆ จนถึง $D_{10}$ จะพบว่าไม่ตรงกับข้อใดครับ เพราะไม่มีตัวเลือกมาให้

[artty60]

ข้อ4.จากลักษณะสปส.ที่symmetryเข้ากับการกระจายของ $(z-i)^4+1=0$

$[(z-i)^2+1)^2-[(\sqrt {2}(z-i)]^2=0$

$[z^2-(\sqrt {2}+2i)z+\sqrt {2}i][z^2+(\sqrt {2}-2)z-\sqrt {2}i]=0$

$ z=\frac{1}{\sqrt {2}}+(1\pm \frac{1}{\sqrt {2}})i$ และ

$-\frac {1}{\sqrt{2}}+(1\pm \frac {1}{\sqrt {2}})i$

ถ้า $z=a+bi $

$|z|=\sqrt {a^2+b^2}$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อ 3. $f(x) \ne x$ คือ Derangment , $D_{10}$ นั่นเอง

$D_{n} = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$ โดยที่ $D_1 = 0, D_2 = 1$

เช่น $D_{3} = (2)(D_{1} + D_{2}) = 2(1) = 2$

$D_{4} = (3)(D_{2} + D_{3}) = 2(3) = 9$

ไล่ไปเรื่อย ๆ จนถึง $D_{10}$ จะพบว่าไม่ตรงกับข้อใดครับ เพราะไม่มีตัวเลือกมาให้

ข้อนี้ผมพิมพ์โจทย์ผิดนะครับ
แก้ไขโจทย์แล้วนะครับ
ต้องเป็น

2. $U=\{ f|f: \{1,2,...,10 \} \rightarrow \{1,2,...,10\},fเป็น1-1\}$
และ $X=\{f \in U|$ $|x-f(x)|\le1$ ทุกๆ $x \in \{1,2,...,10\} \}$
จงหาว่า $|X|$ ตรงกับข้อใด

[Amankris]

ลองสร้าง recurrence ดูนะครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

วิธีนี้ถูกหรือไม่ครับ
ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยนะครับ

คำตอบคือ $89$

วิธีของผม

สร้างความสัมพันธ์เวียนเกิด

ให้ $a_n$ เป็นจำนวนวิธีของ $ f: \{1,2,...,n\} \rightarrow \{1,2,...,n\}$ ตามเงื่อนไขของโจทย์

จะได้ว่า $a_1=1,a_2=2$

พิจารณา $a_{n+1}$

1.ถ้า $f(n+1)=n+1$ จะได้จำนวนวิธีที่สอดคล้อง $a_n$ วิธี

2. ถ้า $f(n+1)=n$ จะได้ $f(n)=n+1$ เท่านั้น เพราะถ้า $f(n)=n-1$ แล้ว จะมีเพียง $f(n+2)=n+1$

สุดท้ายเกิดข้อขัดแย้ง ตัด$f(n+1),f(n)$ จะได้จำนวนวิธีที่สอดคล้อง $a_{n-1}$

กรณี $f(n+1)=n+2$ จะทำให้ได้ $f(n+2)=n+1$ มิฉะนั้น $f(n+2)=n+3$ เกิดข้อขัดแย้ง
ซึ่งก็คือกรณีที่2 นั่นเอง

จะได้จำนวนวิธีเท่ากับ $a_n+a_{n-1}$วิธี
ก็คือลำดับฟีโบนักชี

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

วิธีนี้ถูกหรือไม่ครับ
ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยนะครับ

คำตอบคือ $89$

วิธีของผม

สร้างความสัมพันธ์เวียนเกิด

ให้ $a_n$ เป็นจำนวนวิธีของ $ f: \{1,2,...,n\} \rightarrow \{1,2,...,n\}$ ตามเงื่อนไขของโจทย์

จะได้ว่า $a_1=1,a_2=2$

พิจารณา $a_{n+1}$

1.ถ้า $f(n+1)=n+1$ จะได้จำนวนวิธีที่สอดคล้อง $a_n$ วิธี

2. ถ้า $f(n+1)=n$ จะได้ $f(n)=n+1$ เท่านั้น เพราะถ้า $f(n)=n-1$ แล้ว จะมีเพียง $f(n+2)=n+1$

สุดท้ายเกิดข้อขัดแย้ง ตัด$f(n+1),f(n)$ จะได้จำนวนวิธีที่สอดคล้อง $a_{n-1}$

กรณี $f(n+1)=n+2$ จะทำให้ได้ $f(n+2)=n+1$ มิฉะนั้น $f(n+2)=n+3$ เกิดข้อขัดแย้ง
ซึ่งก็คือกรณีที่2 นั่นเอง

จะได้จำนวนวิธีเท่ากับ $a_n+a_{n-1}$วิธี
ก็คือลำดับฟีโบนักชี

คำตอบใช่แล้วครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

แล้ววิธีทำถูกต้องหรือไม่ครับ
(อยากให้ช่วยกัน Check นะครับ)

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

แล้ววิธีทำถูกต้องหรือไม่ครับ
(อยากให้ช่วยกัน Check นะครับ)

ตรง 2. ไป ผมว่าเขียนยาวไปนิด คือเข้าใจล่ะว่าต้องไล่ให้ครบ แล้วตัวท้ายจะขัดกับตัวแรก

ถ้าเป็นผมจะแบ่งเป็น 2 กรณีคือ $f(1) = 1$ กับ $f(1) = 2$

กรณีที่ 1. $f(1) = 1$ จะเหลือสมาชิกของโดเมนกับเรนจ์อย่างละ $n - 1 ตัว$ ซึ่งสร้างฟังก์ชันได้จำนวน $a_{n-1}$ ฟังก์ชัน ตามที่นิยามเอาไว้

กรณีที่ 2. $f(1) = 2$ จะได้ว่า $f(2) = 1$ เท่านั้น เพราะไม่งั้น จะไม่มี $f(x) = 1$ ดังนั้นจะเหลือสมาชิกของโดเมนกับเรนจ์อย่างละ $n - 2$ ตัว ซึ่งสร้างฟังก์ชันได้จำนวน $a_{n-2}$ ฟังก์ชัน ตามที่นิยามเอาไว้

[artty60]

ผมอ่านวิธีคิดข้อ2แล้วงงครับ

ไม่ทราบว่าสมาชิกของUมีทั้งหมดเท่าไร ใช่100รึเปล่าครับ หรือ10!

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ผมอ่านวิธีคิดข้อ2แล้วงงครับ

ไม่ทราบว่าสมาชิกของUมีทั้งหมดเท่าไร ใช่100รึเปล่าครับ หรือ10!

10! ครับ

$f(1) = 1, 2$

$f(2) = 1, 2, 3$

$f(3) = 2, 3, 4$

...

$f(9) = 8, 9, 10$

$f(10) = 9, 10$