Trigonometry 1 ข้อครับ

[หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์]

$\frac{sin^4\theta }{a}+\frac{cos^4\theta }{b}=\frac{1}{a+b} ค่าของ \frac{sin^8\theta }{a^3}+\frac{cos^8\theta }{b^3}$

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์

$\frac{sin^4\theta }{a}+\frac{cos^4\theta }{b}=\frac{1}{a+b} ค่าของ \frac{sin^8\theta }{a^3}+\frac{cos^8\theta }{b^3}$

$\frac{sin^4\theta }{a}+\frac{cos^4\theta }{b}=\frac{1}{a+b}$

เอา $ab(a+b)$คูณตลอด สุดท้ายจะได้

$absin^4\theta +abcos^4\theta + b^2sin^4\theta +a^2cos^4\theta=ab$ ___1

แล้วใช้คุณสมบัติที่ว่า

$sin^2\theta +cos^2\theta =1$

$sin^4\theta + 2sin^2\theta cos^2\theta+cos^4\theta =1$

$absin^4\theta + 2absin^2\theta cos^2\theta+abcos^4\theta =ab$ ___2

นำสองสมการมาลบกันจะได้ว่า

$-2absin^2\theta cos^2\theta + b^2sin^4\theta +a^2cos^4\theta= 0$

$(bsin^2\theta-acos^2\theta)^2 = 0$

$bsin^2\theta = acos^2\theta$

$tan^2\theta = \frac{a}{b}$

$tan\theta = \sqrt{\frac{a}{b} } $

ทำให้ได้

$sin\theta = \sqrt{\frac{a}{a+b}} $

$cos\theta = \sqrt{\frac{b}{a+b}} $

แล้วนำไปแทนค่าครับ

[sahaete]

ให้
$\qquad \qquad \begin{array}{l}
{\sin ^2}\theta = y\quad \Rightarrow \quad {\sin ^4}\theta = {y^2}\\
{\cos ^2}\theta = 1 - {\sin ^2}\theta = 1 - y\quad \Rightarrow \quad {\cos ^4}\theta = {\left( {1 - y} \right)^2}
\end{array}$

เมื่อแทนในโจทย์ จึงได้เป็น $ \qquad \dfrac{{{y^2}}}{a} + \dfrac{{{{\left( {1 - y} \right)}^2}}}{b} =
\dfrac{1}{{a + b}} \qquad $ แนะนำ $\quad ab(a+b) \quad $ คูณสมการได้เป็น

$\begin{align}
&\qquad \qquad \qquad \quad \qquad \quad b\left( {a + b} \right){y^2} + a\left( {a + b} \right){\left( {1 - y} \right)^2} = ab\\
&\quad \qquad\qquad \qquad \quad b\left( {a + b} \right){y^2} + a\left( {a + b} \right)\left( {1 - 2y + {y^2}} \right) = ab\\
&b\left( {a + b} \right){y^2} + a\left( {a + b} \right) - 2a\left( {a + b} \right)y + a\left( {a + b} \right){y^2} - ab = 0\\
&\qquad \qquad \qquad \quad \qquad \quad {\left( {a + b} \right)^2}{y^2} - 2a\left( {a + b} \right)y + {a^2} = 0\\
&\qquad \qquad \qquad \quad \qquad \quad {\left[ {\left( {a + b} \right)y - a} \right]^2} = 0\\
&\qquad \qquad \qquad \quad \qquad \quad y = \dfrac{a}{{a + b}}\\
&\qquad \qquad \qquad \quad \qquad \quad {\sin ^2}\theta = \dfrac{a}{{a + b}}\\
&\qquad \qquad \qquad \quad \qquad \quad \sin \theta = \sqrt {\dfrac{a}{{a + b}}}
\end{align}$

[หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์]

ขอบคุณมากครับ