ใครคิดได้ ช่วยตอบด้วย

หลัก extreme คืออะไรแล้วนำมาใช้ยังไงเหรอครับคุณ BC
ส่วนวิธีที่คุณ Rudolph พูดถึงนี่ผมก็ไม่รู้จักเหมือนกันเลยให้
ความเห็นไม่ได้ แต่การที่คุณ TOP ใช้ symmetry ของ
สมการโจทย์มานับคำตอบนี่เป็นแนวคิดที่ดีมากเลย

พูดถึงเรื่อง polynomial factorization นี่ Mathematica
ทำได้สบายมากครับ แต่ที่ผมใช้นี่เป็น web tool อย่างเช่นที่อยู่ที่ http://mss.math.vanderbilt.edu/~pscr...actorpoly.html
ซึ่งจริงๆแล้ว engine ที่อยู่เบื้องหลังก็คือ Mathematica อีกนั่นแหละครับ

สำหรับโจทย์ข้อนี้ผมหาวิธีทำที่ง่ายขึ้นได้แล้วครับ แต่ยังมี
ปัญหาคือมันมีคำตอบเกินมาอันนึงคือ p+q+r = 8 หาเท่าไหร่
ก็ไม่เจอว่ามันมาจากไหน แล้วจะพิมพ์วิธีทำมาให้ดูนะครับ
เผื่อคนอื่นจะได้ช่วยอธิบายได้

ขอบคุณคุณ den ที่บอกให้ทราบที่มาของโจทย์ ผมสังเกตว่า
ที่ webboard นี้มักมีคนเอาโจทย์ที่เกี่ยวข้องกับเลขโอลิมปิก
มาถามอยู่เสมอ เลยทำให้เกิดข้อสงสัยว่าโจทย์พวกนี้เค้ามี
เฉลยไว้ให้หรือเปล่าครับ หรือว่ามีแต่ไม่เคลียร์

กลับมาเรื่อง tan(3*pi/11) + 4*sin(2*pi/11) = sqrt(11)
ขอบคุณคุณ gon นะครับที่อุตส่าห์ไปค้นที่มาของโจทย์มาให้
จริงๆถ้ารู้ว่ามีเฉลยอยู่อย่างนี้ตามไปดูที่วารสารเลยจะง่ายกว่า
นะครับ โจทย์ในวารสารดังๆอย่างนี้ถูกคนเก่งๆเป็นพันๆคน
attack มาแล้วโอกาสที่เราจะหาวิธีที่ดีกว่าที่เค้าเฉลยเป็นไป
ได้น้อยมากนะผมว่า อีก 2-3 เดือนข้างหน้าผมคงมีโอกาสใช้
ห้องสมุดที่มีวารสารพวกนี้ครบถ้วน ถ้ายังไม่มีใครค้นมาให้
ผมจะลองไปดูให้เองละกัน

นี่คือวิธีทำใหม่ที่ง่ายขึ้น เพื่อความสะดวกให้ x = p+q+r
จับสมการโจทย์ทั้งสามบวกกันจะได้ว่า p^2+q^2+r^2 = 3(p+q+r) = 3x
ต่อไปให้สังเกตว่า (p+q+r)^2 = (p^2+q^2+r^2) + 2(pq+pr+qr)
ดังนั้น 2(pq+pr+qr) = x^2-3x
จับสมการโจทย์ทั้งสามคูณกัน ในกรณีที่ p, q, r ไม่เท่ากับศูนย์จะได้ว่า (4-p)(4-q)(4-r) = 1 ให้นี่เป็นสมการที่ 1
นอกจากนี้จากโจทย์เราได้ว่า
4-q = (p-2)^2
4-r = (q-2)^2
4-p = (r-2)^2
จับสมการทั้งสามคูณกันเราจะได้ว่า (p-2)(q-2)(r-2) = 1 หรือ -1 ให้นี่เป็นสมการที่ 2
นำสมการที่ 1 บวกกับสมการที่ 2 จะได้ 2(pq+pr+qr) - 12(p+q+r) + 56 = 0 หรือ 2
นั่นคือ (x^2-3x) - 12x + 56 = x^2-15x+56 = 0 หรือ 2
ดังนั้น x = 6, 7, 9, หรือ 8 แล้ว 8 นี่มันแอบเข้ามาตอนไหน!?
ผมลองเช็คดูแล้วว่า p+q+r = 8 ไม่ได้ แต่ก็ไม่เข้าใจว่ามันโผล่มาได้ไง ใครคิดออกช่วยบอกด้วยนะครับ

[TOP]

ไม่น่าจะต้องกังวลมากหรอกครับ เพราะในการแก้สมการบางครั้งก็จะได้คำตอบเกินมาอยู่แล้ว จึงต้องมีขั้นตอนการตรวจคำตอบติดตามมาด้วยเสมอ แต่ถ้าอยากรู้จริงๆ (เอาไว้เป็นความรู้ เผื่อวันหลังแก้แบบนี้อีก ก็จะได้รู้ไว้ก่อนว่า มันต้องมีคำตอบเกินมาแน่ๆ) ก็ต้องไล่ย้อนกลับไปครับว่า p + q + r = 8 เริ่มทำให้สมการไม่เป็นจริงตั้งแต่ตรงไหน

ใช่ครับ...ปกติคำตอบที่เกินมามันไม่ทำให้เกิดปัญหาอะไร แต่
ในกรณีนี้การตรวจคำตอบทำได้ยากมาก ที่ผมใช้คือแก้สมการ
p+q+r = -p^4+8*p^3-21*p^2+21*p = 8
ซึ่งถ้ารวมการแก้สมการเพื่อตรวจคำตอบทุกคำตอบเข้าไปแล้ว
จะทำให้วิธีนี้ไม่ง่ายไปกว่าวิธีแรกที่ผมทำเลย

ขอเพิ่มเติมเรื่อง tan(3*pi/11) + 4*sin(2*pi/11) = sqrt(11)
อีกนิดนึง...ครั้งที่แล้วลืมบอกไป คือตอนที่ผมลองทำนี่ก็เริ่ม
จากความรู้เดิมที่ว่า
tan(pi/11)*tan(2*pi/11)*tan(3*pi/11)*tan(4*pi/11)*tan(5*pi/11) = sqrt(11)
แล้วพยายามพิสูจน์ว่า
tan(pi/11)*tan(2*pi/11)*tan(3*pi/11)*tan(4*pi/11)*tan(5*pi/11) = tan(3*pi/11) + 4*sin(2*pi/11)
แต่ไม่เป็นผล...ต้องขอยอมแพ้ บ๊ายบายไปก่อน มีใครอยากเอา
ไปลองทำต่อมั้ยครับ?

วิธีตรวจสอบว่า 8 ไม่เป็นค่าของ p+q+r ที่ง่ายๆ หน่อยก็คือ
เรารู้ว่า p+q+r = 8 ____(1)
และ pq+qr+rp = [8^2 - 3(8)]/2 = 20 ____(2)
และจาก (4-p)(4-q)(4-r) = 1
ซึ่งจะได้ 64 - 16(p+q+r) + 4(pq+qr+rp) - pqr = 1
ดังนั้น pqr = 64 - 16(8) + 4(20) - 1 = 15 ____(3)
ทีนี้ใช้ความรู้เกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสาม
ถ้าให้ p,q,r เป็นคำตอบของสมการกำลังสาม
t^3 - at^2 + bt - c = 0
จะได้ a = p+q+r = 8
b = pq+qr+rp = 20
c = pqr = 15
ดังนั้นสมการคือ t^3 - 8t^2 + 20t - 15 = 0
หรือ (t - 3)(t^2 - 5t + 5) = 0
จะได้ t = 3, [5 +- sqrt(5)]/2
ถ้าสมมติ p = 3 ก็จะได้ q = 3 และ r = 3 ซึ่งไม่ได้เป็นคำตอบที่เหลือของสมการกำลังสาม
แสดงว่า p+q+r = 8 ไม่ได้

ว้าว!...เป็นวิธีการตรวจคำตอบที่ยอดเยี่ยมมากครับ นับถือๆ

Replying to Warut about the problem tan(3pi/11)+4sin(2pi/11) = sqrt(11). Let s be the expression in question, then 2cos^2(3pi/11)*s^2 = 2cos^2(3pi/11)(tan^2(3pi/11)+8tan(3pi/11)sin(2pi/11)+16sin^2(2pi/11). Then expanding tan = sin/cos and using some fundamental trig identities, we get 2cos^2(3pi/11)*s^2 = 9+11cos(6pi/11)-4(cos(2pi/11)+cos(4pi/11)+cos(6pi/11)+cos(8pi/11)+cos(10pi/11)). It can be shown easily that cos(2pi/11) + ...+cos(10pi/11) = -1/2 (exercise). So 2cos^2(3pi/11)*s^2 =11(1+cos(6pi/11)) = 11(2cos^2(3pi/11)). So s^2 = 11. Since s is easily seen to be positive, we have s = sqrt(11).

You may try to look at the similar problem to this one: cot(pi/22)-4cos(3pi/22) = sqrt(11).

[gon]

อยากรู้แนวคิดว่า
ทำไมจึงต้องเอา cos^2(3pi/11)
ไปคูณครับ .???
ตัวเลขนี้มาจากแนวคิดตรงไหนหรือครับ .?
ช่วยตอบด้วยนะครับ.
ผมจะได้ฉลาดขึ้นไปอีก เพราะผมทำตั้งนาน
ยังไม่รู้ว่าจะเริ่มไปยังไงดี
มาปรากฎผลตอนท้ายว่ามี cos^2(3pi/11)
โผล่ออกมาเองโดยไม่ได้ตั้งใจ

Replying to Gon: As you can see after expanding out s^2 in terms of sin and cos, we will have cos^2(3pi/11) as a denumerator. So multiplying that to s^2 will keep the expression as denumerator free so that the expression doesn't look messy.

ขอบคุณมากครับคุณ Pol สำหรับคำอธิบายและข้อมูลเพิ่มเติม
โทษทีที่มาขอบคุณซะช้าเชียว (แต่ไม่เคยลืมนะ)

I just realized that Gon already posted the solution to this problem long time ago in some previous pages of webboard. Very nice explanation krub, Gon.

[nooonuii]

เพิ่งรู้ว่าพี่ Pol ก็เคยเข้ามาเล่นที่นี่ด้วย หวังว่าคงจะเป็น Pol คนเดียวกับที่ผมรู้จักนะครับ