|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์อสมการเอามาฝากเด็กสอวน
$a,b,c\geq 0$ โดยที่ $ab+bc+ca=3$ จงแสดงว่า
$3+\sum_{cyc} (a-b)^2\geq \sum_{cyc} \frac{a+b^2c^2}{b+c}\geq 3$ เอามาให้เด็กสอวนทำครับ หวังว่าคงจะชอบ แก้แล้วครับ ลืมเงื่อนไขนี้เอง...
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity 07 ธันวาคม 2009 18:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RoSe-JoKer |
#2
|
|||
|
|||
อสมการอันที่สองผิดครับ ให้ $a=b=c=0.5$ ก็ไม่จริงแล้ว ช่วยแก้ด้วยครับ
ขอบคุณล่วงหน้าครับ
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน |
#3
|
||||
|
||||
ไม่มีใครสนใจเลยหรอครับ T_T ผมนึกว่าจะมีคนสนใจกันมากกว่านี้ซะอีก
Hint ครับ ใช้แค่อสมการ Cauchy นี้แหละครับ
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity |
#4
|
||||
|
||||
อีกนานกว่าจะค่าย 2 ครับ อีกอย่างจะสอบมิดเทอมแล่วว TT
|
#5
|
||||
|
||||
พิสูจน์
$ \Sigma \frac{a+b^2c^2}{b+c}\geqslant 3$ $ \Sigma \frac{a}{b+c}\geqslant \frac{3}{2} $ $(\Sigma b+c)(\Sigma \frac{b^2c^2}{b+c})\geqslant ( \Sigma ab)^2 = 9 $ $ \Sigma \frac{b^2c^2}{b+c} \geqslant \frac{9}{2\Sigma a } $ $ (\Sigma a )^2 \geqslant 3( \Sigma ab ) $ $ (\Sigma a ) \geqslant 3 $ $ \frac{9}{2\Sigma a } \geqslant \frac{3}{2} $ $\therefore$ $ \Sigma \frac{a+b^2c^2}{b+c}\geqslant 3$ |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ถ้า $ (\Sigma a ) \geqslant 3 $ แล้ว $ \frac{9}{2\Sigma a } \leqslant \frac{3}{2} $ |
#7
|
||||
|
||||
คุณ Sooprecha ทำล้นไปนิดนึงน่ะครับ
$\sum_{cyc} \frac{a}{b+c}=\sum_{cyc} \frac{a^2}{ab+ca}$ $\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$ $=\frac{(a+b+c)^2}{6}$ $\sum_{cyc} \frac{b^2c^2}{b+c} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(a+b+c)}$ $=\frac{9}{2(a+b+c)}$ และจาก $a+b+c\geq 3$ ดังนั้น $\sum_{cyc} \frac{a+b^2c^2}{b+c}\geq\frac{(a+b+c)^2}{6}+\frac{9}{2(a+b+c)} $ $\geq \frac{(a+b+c)}{2}+\frac{9}{2(a+b+c)} $ $\geq 3$ โดย AM-GM
__________________
PHOENIX
NEVER DIE |
#8
|
||||
|
||||
ส่วนข้างซ้ายไม่ค่อยแน่ใจน่ะครับ ผมแบ่งเป็นสองส่วน
$\sum_{cyc} \frac{a}{b+c}\leq \frac{3}{2}+\sum_{cyc} \frac{(a-b)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{3}{2}+\sum_{cyc} \frac{(a-b)^2}{6}$ กับ $\sum_{cyc} \frac{b^2c^2}{b+c}\leq \frac{1}{2}\sum_{cyc}(bc)^{\frac{3}{2}} \leq \frac{3}{2}+\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{4}$ อันแรกกระจายเอาก็ออกครับ(แต่ถึกน่าาดู) ส่วนอันที่สองนี่ใช้โคชีได้อ่ะ สองอันรวมกันแล้วก็ยังน้อยกว่าข้างซ้ายอยู่นิดนึง
__________________
PHOENIX
NEVER DIE |
#9
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
|
|