สมการ $a^x+b^x = c^x$

[lek2554]

สมการ $2^x+3^x = 4^x$ หรือสมการอื่น ๆ ในรูปทั่วไป $a^x+b^x = c^x$ เมือ $a, b, c > 0$ และ $a, b, c \not= 1$ และ $a\not= b\not= c $ มีคำตอบเสมอ และมีเพียงคำตอบเดียวด้วย ใช่ไหม๊ครับ มีผู้พิสูจน์ไว้หรือยังครับ

[nooonuii]

ต้องแยกเป็นหลายกรณีครับ เอาที่ใกล้เคียงกับตัวอย่างมาให้ดู ส่วนที่เหลือก็ใช้ trick คล้ายๆกัน

สมมติว่า $a,b<c$

หารด้วย $c^x$ ทั้งสองข้างจะได้สมการ

$\Big(\dfrac{a}{c}\Big)^x+\Big(\dfrac{b}{c}\Big)^x=1$

แต่ LHS เป็น strictly decreasing function ซึ่งจะได้ว่า LHS เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ดังนั้นถ้าสมการมีคำตอบจะมีคำตอบเดียว

ถ้า $x=0$ แล้ว LHS = 2

ถ้า $x\to\infty$ แล้ว LHS $\to 0$

ดังนั้นสมการจะมีคำตอบโดย Intermediate Value Theorem

และคำตอบจะเป็นจำนวนจริงบวกเสมอ

สรุป ถ้า $0<a,b<c$ สมการ $a^x+b^x=c^x$ จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงบวกเสมอและมีคำตอบเดียวเท่านั้น

[lek2554]

ขอบคุณมากครับ คุณ nooonuii คือผมกำลังคิดว่า ถ้าผมจะตั้งเป็น conjecture หรือ theory ของผม จะได้หรือเปล่าครับ (อยากทราบว่ามีผู้พิสูจน์ข้อความนี้ไว้แล้วหรือยังครับ)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ขอบคุณมากครับ คุณ nooonuii คือผมกำลังคิดว่า ถ้าผมจะตั้งเป็น conjecture หรือ theory ของผม จะได้หรือเปล่าครับ (อยากทราบว่ามีผู้พิสูจน์ข้อความนี้ไว้แล้วหรือยังครับ)

มันเป็นแบบฝึกหัดในหนังสือ analysis ทั่วไปครับ

แต่ถ้าจะรวบรวมไว้เป็นทฤษฎีบทก็ดีครับ

[lek2554]

ขอบคุณครับ