ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ มัธยมต้น 2552

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {([Son'car])}

ขอขุดหน่อยครับ พอดีผมแทนค่า a = 4 และ b = -3 แล้วข้อ ก ไม่เป็นจริงอ่ะครับ!!!

-5 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะนะครับ

[{([Son'car])}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

-5 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะนะครับ

$a^2 - b^2 $ เป็นจำนวนเฉพาะ$( 4^2 - (-3)^2)= 7$

[Kowit Pat.]

ข้อ 17 ก. ผิดครับ ในกรณีที่ $a, b$ เป็นจำนวนจริงลบ อีกตัวอย่างเช่น $a = -\frac{3}{2}$ และ
$b = -\frac{1}{2}$

รบกวนขอ Hint. ข้อ 7 กับ 20 ด้วยครับ
ขอบคุณมากครับผม

[banker]

ข้อ 7

$x^3+1 = 2\sqrt[3]{2x-1}$

$x^3+1^3 = 2\sqrt[3]{2x-1}$

$ (x+1)(x^2-x+1) = (2)(\sqrt[3]{2x-1})$

แยกเป็นกรณ๊ๆ

กรณี $ (x+1) = 2 $ จะได้ $x = 1$

กรณี $ x^2-x+1 = 2 $ จะได้ $x = \frac{ (1-\sqrt{5})}{2}, \frac{ (1+\sqrt{5})}{2} $
.
.

[Kowit Pat.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ข้อ 7

$x^3+1 = 2\sqrt[3]{2x-1}$

$x^3+1^3 = 2\sqrt[3]{2x-1}$

$ (x+1)(x^2-x+1) = (2)(\sqrt[3]{2x-1})$

แยกเป็นกรณ๊ๆ

กรณี $ (x+1) = 2 $ จะได้ $x = 1$

กรณี $ x^2-x+1 = 2 $ จะได้ $x = \frac{ (1-\sqrt{5})}{2}, \frac{ (1+\sqrt{5})}{2} $
.
.

คำตอบจากกรณีที่ 2 ดูคล้าย ๆ กับคำตอบใน choice 4. แต่ไม่ตรงกัน
ผมลองนำไปตรวจดู ($x = \frac{ (1-\sqrt{5})}{2}, \frac{ (1+\sqrt{5})}{2} $)
พบว่าไม่ใช่ผลเฉลยของสมการ

เลยอยากทราบวิธีการหาอีกสองคำตอบที่เหลือ นอกจากกรณี $x=1$ น่ะครับ
(ลองตรวจคำตอบ พบว่าอีกสองจำนวนตรงกับใน choice 4. แต่ยังหาวิธีไม่เจอ )

[Onasdi]

คุณ banker จับเป็นคู่ๆอย่างนั้นไม่ได้นะครับ มันไม่ใช่จำนวนเต็ม


ข้อนี้ผมว่าแทนค่าเอาน่าจะเร็วกว่าคิดจริงๆครับ

ผมใช้การสังเกตว่า สมการสมมูลกับ $\dfrac{\Big(\dfrac{x^3+1}{2}\Big)^3+1}{2}=x$

นั่นก็คือ $f(f(x))=x$ โดยที่ $f(t)=\dfrac{t^3+1}{2}$

จะเห็นว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่นเพิ่มโดยแท้
ดังนั้นถ้า $f(x)>x$ จะได้ $f(f(x))>x$ เกิดข้อขัดแย้ง
ในทำนองเดียวกัน $f(x)<x$ ไม่ได้

ซึ่งแปลว่า $f(x)=x$ นั่นคือ $\dfrac{x^3+1}{2}=x$
ทีนี้ก็แยกตัวประกอบได้แล้ว

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมทำอย่างนี้ครับ อาศัยม.ต้นล้วนๆ
จาก$x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1} $
ให้ $\sqrt[3]{2x-1} =A$ จะได้ $A^3=2x-1...(1)$ และ $x^3=2A-1...(2) $
นำ(2)-(1) จะได้ $x^3-A^3=2(A-x)$
หรือ $x^3-A^3+2(x-A)=0$
$(x-A)(x^2+xA+A^2+2)=0$ ซึ่ง$ x^2+xA+A^2=-2$ไม่มีทางเป็นจริง
จึงได้ $x=A$ เท่านั้น จะได้ $x^3=2x-1$
$(x-1)(x^2+x-1)=0$
จะได้ $x=1, \frac{-1+\sqrt{5} }{2} ,\frac{-1-\sqrt{5} }{2}$ครับ

[banker]

ขอบคุณทั้งสองท่านครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 3.

ให้ $a_i=\frac{1}{i+1}\binom{n}{i} ,i=0,1,2,...,n$

$(n+1)a_i=\binom{n+1}{i+1} $

$(n+1)S=\sum_{i = 0}^{n}\binom{n+1}{i+1} $

$\therefore S=\frac{2^{n+1}-1}{n+1} $ ตอบข้อ 1

[~ArT_Ty~]

ข้อ 20. ข้อ1,2 เห็นได้ชัดว่าไม่ถูก

ข้อ 3. $x^6+1\geqslant 2a$

$(x^2+1)(x^4-x^2+1)\geqslant 2x(x^4-x^2+1)$

$x^2+1\geqslant 2x$

$(x-1)^2\geqslant 0$

ข้อ 3 ถูกต้อง

[~ArT_Ty~]

ข้อ 37. จะเห็นว่า -1 กับ 1 เป็นไปไม่ได้

แทน $x=3$ จะได้ว่า

$y^2+z^2=37$

$yz=6$

$x+y-z=8$

$\therefore y=6,z=1$ ตอบข้อ 3

[{([Son'car])}]

$ข้อ4$จัดรูปอย่างง่ายโดยใช้สูตร

$x=\sqrt[3]{u+\sqrt{v}} +\sqrt[3]{u-\sqrt{v}}$

จะได้รูปใหม่เป็น$x=\frac{2u}{x^2-3(u^2-v)^{\frac{1}{3} }} $

จะได้$A=\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8 } -\sqrt[3]{3\sqrt{21}-8 }=\sqrt[3]{8+\sqrt{189} } +\sqrt[3]{8-\sqrt{189} }$

จัดรูปใหม่ได้$A=\frac{2(8)}{A^2-3(8^2-189)^{\frac{1}{3} }} =\frac{16}{A^2+15}$

$A(A^2+15)-16=0$

$A^3+15A-16=0$

$(A-1)(A^2+A+16)=0$

$\therefore A=1$

วีธีนี้ใช้ได้ป่าวครับหรือมีวิธีที่ง่ายกว่านี้ช่วยแนะนำให้หน่อยครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ไม่รู้จะง่ายกว่ารึเปล่านะครับให้ $x=a-b$
โดยที่ $ab=5$ และ $a^3-b^3=16$
ซึ่ง $a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$
จะได้ $x^3+15x=16$
ได้ $x=1$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

คุณ banker จับเป็นคู่ๆอย่างนั้นไม่ได้นะครับ มันไม่ใช่จำนวนเต็ม

ขอบคุณครับ เพิ่งรู้เหมือนกันว่า ถ้าไม่เป็นจำนวนเต็ม ทำไม่ได้

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

คุณอาbanker แกล้งตอบผิดซินะครับ