Integral ข้อนี้ทำอย่างไรครับ

[Keehlzver]

เป็นส่วนหนึ่งของโจทย์สมาคมคณิตศาสตร์ปี 51 ครับ

จงหาค่าของ $$\int_{1}^{3}(\frac{2}{x}+\sqrt{\frac{4}{x}-1})^{-\frac{1}{2}}\,dx $$

เเล้วก็จัดรูปไปถึง $\int_{1}^{3}(\frac{2}{x}+\sqrt{\frac{4}{x}-1})^{-\frac{1}{2}}\,dx=\sqrt{2}\int_{1}^{3}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}\,dx$ ตรงนี้ในเฉลยบอกว่า ให้หาพท.ใต้กราฟตั้งเเต่ $x=1$ ถึง $x=3$ โดยการเขียนกราฟ จะได้ $\int_{1}^{3}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}\,dx=1$

ดังนั้น $\int_{1}^{3}(\frac{2}{x}+\sqrt{\frac{4}{x}-1})^{-\frac{1}{2}}\,dx =\sqrt{2}(1)=\sqrt{2}$

ผมสงสัยตรงที่ว่าเราจะเขียนกราฟหาพท.ได้อย่างไร เเล้วก็ไม่รู้จะ integrate ก้อน $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}$ ยังไงด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

โดยการเขียนกราฟ จะได้ $\int_{1}^{3}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}\,dx=1$

น่าจะหมายถึงการมองหาสมมาตรครับ

สมมติ $\int_{1}^{3}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}\,dx=I$

ลองพิสูจน์โดยการเปลี่ยนตัวแปร $u=4-x$ ว่า

$\int_{1}^{3}\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}\,dx=I$

เช่นกัน ดังนั้น

$2I=\int_{1}^{3}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}\,dx=2$

จึงได้ $I=1$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ลองพิสูจน์โดยการเปลี่ยนตัวแปร $u=4-x$ ว่า

$\int_{1}^{3}\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}\,dx=I$

งงอ่ะครับ มายังไงอ่ะครับ

[nooonuii]

$u=4-x$

$x=4-u$

$dx=-du$

$x=1,u=3$

$x=3,u=1$


$\int_{1}^{3}\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}\,dx=\int_3^1\dfrac{\sqrt{u}}{\sqrt{4-u}+\sqrt{u}}(-du)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\int_1^3\dfrac{\sqrt{u}}{\sqrt{4-u}+\sqrt{u}}\,du$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=I$