จงหาเศษ

[shiro40]

จงหาหลักหน่วยของ

(1!+2!+...+100!)^(0!+1!+...99!)^(1!+3!+5!+...+97!)

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

1! + 2! + ... + 100! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + .... + 100! = ........3
0! + 1! + ... + 99! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + .... + 99! = ........4
1! + 3! + 5! + ... + 97! = 1 + 6 + 120 + 5040 + .... + 97! = .......7

( ........3 )^( ........4 )^( .......7 ) = ( ........3 )^[ ( ........4 )^( .......7 ) ]

x เป็นจำนวนเต็มบวก
3^x หลักหน่วยที่เป็นไปได้มี 3 , 9 , 7 , 1
ผมมั่วเลย ตอบ หลักหน่วยคือ 1 ( โอกาสถูก 25% )

สุดยอดเลยครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

$1!+2!+...+100! \equiv 3 \pmod{10} $

หลักหน่วยของ $3^{\displaystyle n}$ วน $Loop$ ใน $\pmod{4}$

พิจารณา $0!+1!+...+99! \equiv 2 \pmod{4}$

และ $1!+3!+5!+...+99! =2k+1 $ หรือเป็นเลขคี่

ฉะนั้น $2^{ \displaystyle 2k+1} \equiv 0 \pmod{4}$

น่าจะลงท้ายด้วย $1$ ปะครับ

[sawada]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

1! + 2! + ... + 100! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + .... + 100! = ........3
0! + 1! + ... + 99! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + .... + 99! = ........4
1! + 3! + 5! + ... + 97! = 1 + 6 + 120 + 5040 + .... + 97! = .......7

( ........3 )^( ........4 )^( .......7 ) = ( ........3 )^[ ( ........4 )^( .......7 ) ]

( ........3 )^( ........4 )^( .......7 )
4ยกกำลัง เลขคู่จะลงท้ายด้าย6 ยกกำลังเลขคี่จะลงท้ายด้าย4
( ........3 )^( ........4 )
เขียนผลลัพธ์ของเเต่ละแฟกตัวไปจนถึง9!(เพราะถ้าเกิน10!มันจะลกท้ายด้วย...00ไปเรื่อยๆ)
0! + 1! + ... + 99! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + (5040=7!) + (40320=8!) + (362880=9!) + (3628800=10!) .... + 99! = ........14
3^............14
พอลองคิดต่อ3^.......14ไม่ว่าหน้าเลข14จะเป็นอะไรก็จะลงท้าด้วยตัวเดิมนั่นคือ 9 ครับ

[shiro40]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

$1!+2!+...+100! \equiv 3 \pmod{10} $

หลักหน่วยของ $3^{\displaystyle n}$ วน $Loop$ ใน $\pmod{4}$

พิจารณา $0!+1!+...+99! \equiv 2 \pmod{4}$

และ $1!+3!+5!+...+99! =2k+1 $ หรือเป็นเลขคี่

ฉะนั้น $2^{ \displaystyle 2k+1} \equiv 2 \pmod{4}$

น่าจะลงท้ายด้วย $9$ ปะครับ

ช่วยอธิบายตรง 2k+1 ให้หน่อยนะคะ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ตั้งแต่ $3!$ มี $2$ เป็นตัวประกอบครับ

[shiro40]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ตั้งแต่ $3!$ มี $2$ เป็นตัวประกอบครับ

อันนี้เข้าใจแล้วค่ะ แต่ไม่เข้าใจว่าทำไม 2^2k+1 \equiv 2 (mod4) คะ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ผมทำผิดครับ
แก้ไขแล้วนะครับ ^^

[ยิงกระต่าย]

1!+2!+...+100!=...3
0!+1!+...+99! =...4 ซึ่งทำให้เห็นได้ว่ามี 2 เป็นตัวประกอบ
1!+3!+...+97! =...7
จะได้ว่า (...3)^((...4)^(...7))
จาก เลขยกกำลัง หารด้วย4เหลือเศษ 1 จะมีเลขลงท้ายด้วย3
หารด้วย4เหลือเศษ 2 จะมีเลขลงท้ายด้วย9
หารด้วย4เหลือเศษ 3 จะมีเลขลงท้ายด้วย7
หารด้วย4 ลงตัว. จะมีเลขลงท้ายด้วย1
(...4)^(...7) -> (2k)^(...7) -> หารด้วย4ลงตัวแน่นอน ดังนั้น (...3)^4m -> (...1)
อาจใส่ตัวแปรมั่วนะ 555

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

ถ้าใช้ mod ไม่เป็น ก็ไม่สามารถตอบข้อนี้ได้แบบ มั่นใจ 100%

แหม่ ท่านทำไม่เป็น ก็อย่าคิดว่าคนอื่นทำไม่เป็นไปด้วยสิคร้าบ

[shiro40]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ผมทำผิดครับ
แก้ไขแล้วนะครับ ^^

เราก็นึกว่าตัวเองคิดผิด นั่งคิดใหม่ทั้งคืนเลยค่ะ

[Panithi Vanasirikul]

ถามตรงๆ นะครับ ทำไม คุณ amankris ไม่เห็น เคยเเสดงวิธีทำเลย ด่าคนอื่น ชม คนอื่นอยู่ได้ ผมรู้เพราะ ผมเคยโดนมาเเล้ว

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Panithi Vanasirikul

ถามตรงๆ นะครับ ทำไม คุณ amankris ไม่เห็น เคยเเสดงวิธีทำเลย ด่าคนอื่น ชม คนอื่นอยู่ได้ ผมรู้เพราะ ผมเคยโดนมาเเล้ว

ที่ผมไม่ได้แสดงวิธีทำเพราะโจทย์ข้อนี้ไม่ยาก และมีคนตอบไปแล้ว


และสิ่งที่คุณไม่เห็น ไม่ได้แปลว่ามันไม่มี


ปล คุณรู้อะไร คุณโดนอะไร

[artty60]

ลองคิดธรรมดาแบบนี้

$1!+2!+3!+4!+5!+...+100!=A33$

$0!+1!+2!+3!+4!+5!+...+99!=B34$

$1!+3!+5!+...+97!==C7$

$(A33)^{(B34)^{(C07)}}=D1$

$\therefore หลักหน่วยคือ1$

[StrikeFreedom]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Panithi Vanasirikul

ถามตรงๆ นะครับ ทำไม คุณ amankris ไม่เห็น เคยเเสดงวิธีทำเลย ด่าคนอื่น ชม คนอื่นอยู่ได้ ผมรู้เพราะ ผมเคยโดนมาเเล้ว

ผมคือคนนึงที่เคยรู้สึกไม่เข้าใจกับคุณ amankris ครับ แต่ผมลองไปอ่านย้อนหลังดู เค้าเป็นผู้มีความรู้นะครับ

เค้าสอนให้เรารู้จักความพยายามมากกว่าครับ เนื่องจากบางทีคณิตศาสตร์ถ้าเราตั้งใจจริงๆ เราจะนึกออก แล้วก็จะจำไปตลอดครับ

ผมว่านี่คือสิ่งที่คุณ amankris ต้องการครับ แต่ผมว่าถ้าเราคิดไรไม่ออกจริงๆ ลอง PM ไปถามเค้าตรงๆเลยดีกว่าครับ

แต่ก่อนอื่นเราต้องแสดงห้เห็นก่อนนะครับ ว่าเราตั้งใจจริง ผมก็เห็นเค้ายอมเฉลยบ่อยๆครับ อย่าไปว่าเค้าเลย ^^