โจทย์เรื่องลิมิต

[st_alongkorn]

โจทย์ข้อนี้ผมคิดออกแล้ว แต่ก็ต้องใช้เวลาพอสมควรเลย อยากให้เพื่อนๆ ลองทำดู อาจจะง่ายสำหรับหลายๆ คนก็ได้นะครับ
lim เมื่อ x ฎ 0 ของ [ cot ( px ) ท sin x ] / ( 2 sec x )
คำตอบ คือ 1 / ( 2p ) ครับ ขอเชิญทำได้เลยครับ ...

[Penpen]

Thank You na krub. It took me quite a long time to work it out.I used L'Hopital rule. Are there any methods to solve this problem without using L'Hopital rule...

[tana]

เปลี่ยน sec x เป็น 1/cos x
เปลี่ยน cot pi(x) เป็น cos pi (x)/sinpi (x)
แล้วเอาลงมาข้างล่าง แล้วจะกลายเป็น
(sin x cos x) / (2 sin pi(x) / cos pi(x) )
แล้วเมื่อแทนค่า x=0 จะได้เป็น 0/0 แล้วใช้กฎ
โลปิตาล diff เศษและส่วน จะได้เป็น
เศษ :-(sin x)^2 + (cos x)^2
ส่วน: 2pi( (cos pi(x))^2 + (sin pi(x) )^2 ) / ( cos pi(x) )^2
=2pi / (cos pi(x) )^2
และเมื่อแทน x=0 ก็จะได้เป็น 1/2pi

[st_alongkorn]

สำหรับผม ผมจะขอใช้ตัวช่วย คือ lim xฎ0 ของ ( sin x / x ) = 1
เนื่องจาก ณ มุมน้อยๆ ( xฎ0 ) sin x จะมีค่าใกล้เคียงจนเกีอบจะเท่ากับค่า x หรือใครจะลองวาดกราฟของ y = sin x / x ดูก็ได้ ก็จะพบว่าเมื่อ xฎ0 , sin x / x ก็จะเข้าใกล้ 1 จริงๆ เอาล่ะครับ ผมจะลงมือทำโดยไม่ใช้กฏโลปิตาลนะครับ
เอา x คูณทั้งเศษและส่วนจะได้เป็น lim xฎ0 ของ ( sin x / x ) [ xทcot ( px ) / ( 2 sec x )
lim xฎ0 ของ ( sin x / x )[ x cos ( px ) / sin ( px ) ] / ( 2 sec x )
ทำถึงตรงนี้ ขอแทนค่าลิมิต xฎ0 เข้าไป ที่ sin x / x , cos( px ) และ sec x ก่อน เพื่อความสะดวกในการพิมพ์นะครับ ซึ่งทุกตัวมีค่าเป็น 1 หมด จะได้เป็น
lim xฎ0 ของ x / [2 sin ( px )] เอา p คูณทั้งเศษและส่วน จะได้เป็น
lim xฎ0 ของ px / ( 2p sin ( px ) )
= lim xฎ0 ของ 1 / [ 2p sin ( px ) / ( px ) ]
= 1 / 2p Ans.

แต่พอคิดไปคิดมา เกิดคำถามว่า จะพิสูจน์ว่า lim xฎ0 ของ ( sin x / x ) = 1 ได้อย่างไรโดยไม่ใช้ข้อสังเกตที่บอกว่า ณ มุมน้อยๆ ( xฎ0 ) sin x จะมีค่าใกล้เคียงจนเกีอบจะเท่ากับค่า x และ ไม่ใช้การวาดกราฟ
ใครพิสูจน์ได้บ้างครับ โปรด proof ให้ดูหน่อยนะครับ ผมพิสูจน์ไม่ได้เลยจริงๆ นอกจาก 2 วิธีที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ...