ช่วยเฉลยแบบละเอียดหน่อยได้มั้ยครับ สมาคมปี 33 ครับ

[Peeliiz]

จงหาจำนวนวิธีในการสร้างจำนวน 12 หลัก จากเลขโดด 1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4 โดยมีเงื่อนไขว่า เมื่ออ่านค่าตัวเลขโดจากซ้ายไปขวาจะต้องพบ n อย่างน้อย 1ตัว ก่อนที่จะพบ n+1 สำหรับ n = 1,2,3

ช่วยหน่อยนะครับ คืองงมาก ขอบคุณครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Peeliiz

จงหาจำนวนวิธีในการสร้างจำนวน 12 หลัก จากเลขโดด 1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4 โดยมีเงื่อนไขว่า เมื่ออ่านค่าตัวเลขโดดจากซ้ายไปขวาจะต้องพบ n อย่างน้อย 1 ตัว ก่อนที่จะพบ n+1 สำหรับ n = 1,2,3

ช่วยหน่อยนะครับ คืองงมาก ขอบคุณครับ

ลองตอบคำถามนี้ก่อนครับ.

สมมติว่า ถ้ามีของที่เหมือนกัน 2 ชิ้น ต้องการแจกให้เด็ก 7 คน โดยไม่มีเงื่อนไขใด ๆ (แต่ต้องแจกให้หมด)

แบบนี้จะคิดอย่างไรครับ.

[Peeliiz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ลองตอบคำถามนี้ก่อนครับ.

สมมติว่า ถ้ามีของที่เหมือนกัน 2 ชิ้น ต้องการแจกให้เด็ก 7 คน โดยไม่มีเงื่อนไขใด ๆ (แต่ต้องแจกให้หมด)

แบบนี้จะคิดอย่างไรครับ.

อืม ใช่ 7!/2! รึป่าวคับ คือผมไม่ค่อยได้เรื่องนี้ด้วยอ่ะคับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Peeliiz

อืม ใช่ 7!/2! รึป่าวคับ คือผมไม่ค่อยได้เรื่องนี้ด้วยอะคับ

ไม่ถูกครับ ถ้ามีของที่เหมือนกัน 2 ชิ้น เราจะแทนของทั้ง 2 ชิ้นที่เหมือนกันนี้ด้วย * 2 ดวงคือ * *

และถ้าเรามีเด็ก 7 คน คือ นาย $x_1, x_2, x_3, ... , x_7$
สมมติว่า

ถ้าเขียน * | * | | | | | จะหมายถึง $x_1 $ ได้ 1 ชิ้น , $x_2$ ได้ 1 ชิ้น และ $x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ ได้คนละ 0 ชิ้น

หรือเขียนสั้น ๆ ว่า (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0)

ถ้าเขียน * * | | | | | | หมายถึง (2, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

ถ้าเขียน | | | |* * | | หมายถึง (0, 0, 0, 0, 2, 0, 0)

จะเห็นว่า จะเหมือนกับมี | อยู่ 6 อันที่เหมือนกัน นำไปเรียงเป็นเส้นตรงกับ * 2 อัน

ซึ่งจะเรียงได้ $\frac{8!}{6! 2!} = 28 = \binom{8}{6}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเรามีของที่เหมือน n ชิ้น ต้องการแจกให้เด็ก r คน จะเหมือนกับเรามี * อยู่ n ดวง และมี | อยู่ r-1 อัน

ดังนั้นจะสับเปลี่ยนได้ทั้งหมด $\frac{n+r-1}{n!(r-1)!} = \binom{n+r-1}{r-1}$ วิธี นี่คือสูตรในการแจกของที่เหมือนกัน

สำหรับปัญหา

จงหาจำนวนวิธีในการสร้างจำนวน 12 หลัก จากเลขโดด 1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4 โดยมีเงื่อนไขว่า เมื่ออ่านค่าตัวเลขโดจากซ้ายไปขวาจะต้องพบ n อย่างน้อย 1ตัว ก่อนที่จะพบ n+1 สำหรับ n = 1,2,3

ทำได้ดังนี้
ขั้นที่ 1. เขียน 3, 4, 4, 4 ลงไปก่อน

ขั้นที่ 2. มองว่าเป็น 3 _ 4 _ 4 _ 4 _
ตอนนี้จะเหมือนกับว่า มีเด็กอยู่ 4 คน เราจะต้องนำ 3 ซึ่งเหลืออยู่ 2 ตัว(ของเหมือนกัน) ไปแจกให้เด็ก 4 คน ซึ่งจะแจกได้ $\binom{5}{3}$ วิธี

เมื่อแจกเสร็จ สมมติว่าได้เป็นแบบนี้คือ
3, 4, 3, 3, 4, 4 หรือ 3, 4, 4, 3, 4, 3 เป็นต้น เราก็จะนำ 2 ไปวางไปด้านหน้าสุดได้ 1 วิธีเป็น
2, 3, 4, 3, 3, 4, 4 หรือ 2, 3, 4, 4, 3, 4, 3

จากนั้นเราก็จะนำ 2 ไปแจกต่อ แล้วแจกเด็กกี่คนล่ะ ?
2 _ 3_ 4 _ 3 _ 3 _ 4 _ 4 _ หรือ 2 _ 3 _ 4 _ 4 _ 3 _ 4 _ 3 _

คำตอบก็คือมีเด็ก 7 คน รอรับ 2 อยู่ ซึ่งจะแจกได้ $\binom{8}{6}$ วิธี

สมมติว่าเป็นแบบนี้
2, 2, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 4

ทำเหมือนเดิมคือนำ 1 ไปวางหน้าสุดก่อนได้ 1 วิธี
1, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 4

สุดท้ายแจก 1 อีก 2 ตัว ให้เด็ก 10 คน จะแจกได้ $\binom{11}{9}$ วิธี

ดังนั้นคำตอบคือ $\binom{5}{3}\binom{8}{6} \binom{11}{9} = \binom{5}{2}\binom{8}{2} \binom{11}{2} = (10)(28)(55) = 15400$ วิธี

[Thgx0312555]

อีกวิธีนะครับ ให้จำนวนนี้คือ $\overline{A_1A_2...A_{12}}$
ให้ $A_1,A_2,...,A_{12}$ เป็นของแต่ละอย่าง

สามารถแบ่งของทั้ง 12 อย่างได้เป็นกลุ่มละ 3 สี่กลุ่ม ได้ $\dfrac{12!}{(3!)^44!}$ วิธี

แบ่งตัวเลข 1,2,3,4 ให้แต่ละกลุ่มได้วิธีเดียว
เนื่องจากกลุ่มที่มี $A_1$ ต้องได้รับเลขหนึ่ง
กลุ่มที่มีหลักหน้าสุดที่ไม่ได้อยู่ในกลุ่มแรก ต้องได้รับเลข 2
เช่นเดียวกันกับเลข 3,4

ดังนั้นจำนวนเลขคือ $\dfrac{12!}{(3!)^44!} = 15400$ เท่าคุณ gon ครับ

[Peeliiz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ไม่ถูกครับ ถ้ามีของที่เหมือนกัน 2 ชิ้น เราจะแทนของทั้ง 2 ชิ้นที่เหมือนกันนี้ด้วย * 2 ดวงคือ * *

และถ้าเรามีเด็ก 7 คน คือ นาย $x_1, x_2, x_3, ... , x_7$
สมมติว่า

ถ้าเขียน * | * | | | | | จะหมายถึง $x_1 $ ได้ 1 ชิ้น , $x_2$ ได้ 1 ชิ้น และ $x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ ได้คนละ 0 ชิ้น

หรือเขียนสั้น ๆ ว่า (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0)

ถ้าเขียน * * | | | | | | หมายถึง (2, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

ถ้าเขียน | | | |* * | | หมายถึง (0, 0, 0, 0, 2, 0, 0)

จะเห็นว่า จะเหมือนกับมี | อยู่ 6 อันที่เหมือนกัน นำไปเรียงเป็นเส้นตรงกับ * 2 อัน

ซึ่งจะเรียงได้ $\frac{8!}{6! 2!} = 28 = \binom{8}{6}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเรามีของที่เหมือน n ชิ้น ต้องการแจกให้เด็ก r คน จะเหมือนกับเรามี * อยู่ n ดวง และมี | อยู่ r-1 อัน

ดังนั้นจะสับเปลี่ยนได้ทั้งหมด $\frac{n+r-1}{n!(r-1)!} = \binom{n+r-1}{r-1}$ วิธี นี่คือสูตรในการแจกของที่เหมือนกัน

สำหรับปัญหา

ทำได้ดังนี้
ขั้นที่ 1. เขียน 3, 4, 4, 4 ลงไปก่อน

ขั้นที่ 2. มองว่าเป็น 3 _ 4 _ 4 _ 4 _
ตอนนี้จะเหมือนกับว่า มีเด็กอยู่ 4 คน เราจะต้องนำ 3 ซึ่งเหลืออยู่ 2 ตัว(ของเหมือนกัน) ไปแจกให้เด็ก 4 คน ซึ่งจะแจกได้ $\binom{5}{3}$ วิธี

เมื่อแจกเสร็จ สมมติว่าได้เป็นแบบนี้คือ
3, 4, 3, 3, 4, 4 หรือ 3, 4, 4, 3, 4, 3 เป็นต้น เราก็จะนำ 2 ไปวางไปด้านหน้าสุดได้ 1 วิธีเป็น
2, 3, 4, 3, 3, 4, 4 หรือ 2, 3, 4, 4, 3, 4, 3

จากนั้นเราก็จะนำ 2 ไปแจกต่อ แล้วแจกเด็กกี่คนล่ะ ?
2 _ 3_ 4 _ 3 _ 3 _ 4 _ 4 _ หรือ 2 _ 3 _ 4 _ 4 _ 3 _ 4 _ 3 _

คำตอบก็คือมีเด็ก 7 คน รอรับ 2 อยู่ ซึ่งจะแจกได้ $\binom{8}{6}$ วิธี

สมมติว่าเป็นแบบนี้
2, 2, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 4

ทำเหมือนเดิมคือนำ 1 ไปวางหน้าสุดก่อนได้ 1 วิธี
1, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 4

สุดท้ายแจก 1 อีก 2 ตัว ให้เด็ก 10 คน จะแจกได้ $\binom{11}{9}$ วิธี

ดังนั้นคำตอบคือ $\binom{5}{3}\binom{8}{6} \binom{11}{9} = \binom{5}{2}\binom{8}{2} \binom{11}{2} = (10)(28)(55) = 15400$ วิธี

ขอบคุณนะครับ เข้าใจมากๆๆเลย ขอบคุณคร้าบบบบบบ

[Peeliiz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

อีกวิธีนะครับ ให้จำนวนนี้คือ $\overline{A_1A_2...A_{12}}$
ให้ $A_1,A_2,...,A_{12}$ เป็นของแต่ละอย่าง

สามารถแบ่งของทั้ง 12 อย่างได้เป็นกลุ่มละ 3 สี่กลุ่ม ได้ $\dfrac{12!}{(3!)^44!}$ วิธี

แบ่งตัวเลข 1,2,3,4 ให้แต่ละกลุ่มได้วิธีเดียว
เนื่องจากกลุ่มที่มี $A_1$ ต้องได้รับเลขหนึ่ง
กลุ่มที่มีหลักหน้าสุดที่ไม่ได้อยู่ในกลุ่มแรก ต้องได้รับเลข 2
เช่นเดียวกันกับเลข 3,4

ดังนั้นจำนวนเลขคือ $\dfrac{12!}{(3!)^44!} = 15400$ เท่าคุณ gon ครับ

ขอบคุณๆๆนะครับ ที่เสนอแนวคิดให้ผมอีกวิธีนึง ขอบคุณครับ