Convex function ??

[DeBoRo]

คืออยากทราบนิยามของ Convex function ที่เป็นภาษาไทยนะครับ แล้วอยากให้ช่วยอธิบายให้เข้าใจด้วยนะครับ เคยหามาแล้วแต่ไม่เข้าใจครับ

[passer-by]

ถ้ารู้จัก convex lens หรือที่เรียกว่า เลนส์เว้า ในวิชาฟิสิกส์ ก็น่าจะพอมองภาพ convex function ในทาง maths ออกได้ไม่ยากครับ

นิยามของ convex function แบบหยาบๆ ที่ใช้กันทั่วไป คือ
f is convex ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก u,v ฮ I และ 0<l<1
f(lu+(1-l)v ) ฃ lf(u)+(1-l)f(v)


จากนิยามจะเห็นว่า lf(u)+(1-l)f(v) ก็คือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อม f(u),f(v)
ดังนั้น จากนิยามก็จะพบว่า ถ้าลากส่วนของเส้นตรงเชื่อม จุด f(u),f(v) บนกราฟของ convex function ส่วนของเส้นตรงนั้น จะต้องอยู่เหนือ(หรือทับ) ฟังก์ชัน นั้นเสมอ

กราฟ y=x² และกราฟ paraboloid ใน 3 มิติ น่าจะเป็นฟังก์ชันที่อธิบายข้อความนี้ได้ดีที่สุด

ส่วนวิธีตรวจสอบ convex function น่าจะหาอ่านได้จากตำราเกี่ยวกับ static optimization หรือ numerical optimization

ไม่รู้ว่าคำตอบของผมจะช่วยให้คุณ DeBoRo กระจ่างขึ้น หรือ งงหนักกว่าเดิมเนี่ย

[warut]

ผมแปลจาก http://mathworld.wolfram.com/ConvexFunction.html ได้ดังนี้ครับ

\(f\) เป็น convex function บนช่วง \(I\) ก็ต่อเมื่อ\[f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le
\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\]สำหรับทุก \(x_1,x_2\in I\)

ผมหวังว่าคงไม่เพี้ยนไปจากต้นฉบับเดิมจนเกินไปนะครับ

[passer-by]

มาดูอีกที ถึงรู้ว่า พิมพ์ f ตกไป แก้ไขให้เรียบร้อยแล้วครับ

ส่วน นิยามที่ mathworld แล้ว ก็รู้สึกแปลกตาดีครับ

จริงๆ ถ้า ผมแทนด้วย l= 1/2 ใน นิยามที่ผมเขียนไว้ข้างบน ก็จะให้ผลเหมือนกับของคุณ warut เป๊ะ !

ไม่ทราบว่า ตอนนี้คุณ DeBoRo เรียนวิชา เกี่ยวกับ "การหาค่าเหมาะสมที่สุด" อยู่หรือครับ เพราะไอ้เจ้า convex function มันเกี่ยวพันกับ global minimum โดยตรง

[gon]

ไม่น่าเชื่อว่าคุณ passer - by จะบอกว่า นิยามของ convex function ของ mathworld กับ ข้างบนจะแปลกตา เพราะปัญหาแนวโอลิมปิก เรื่องอสมการก็ใช้อยู่บ่อยครั้ง

เท่าที่ผมเคยอ่านมาเขาจะนิยามตามแบบคุณ passer-by จากนั้น ก็จะพิสูจน์ว่าเป็นการเพียงพอที่จะใช้นิยาม แบบของคุณ warut จาก mathworld

[passer-by]

ไม่แปลกอะไรหรอกครับ คุณ gon ที่ผมจะรู้สึกว่า นิยามใน mathworld เกี่ยวกับ convex function อาจไม่คุ้นเคยในสายตาของผม แต่อาจดูเก่าแล้วในสายตาคนอื่น

เพราะว่า ประสบการณ์แรก ตอนที่ผมรู้จัก concave ,convex function ไม่ได้เริ่มจาก Jensen inequality ที่เกี่ยวพันกับ convex function
แต่เริ่มต้นมาจากวิชาทาง static optimization ,dynamic optimization (calculus of variation, optimal control theory) ซึ่งนอกจากจะมี concave ,convex แล้ว ยังมี quasiconcave, quasiconvex อีกด้วย

และเปอร์เซ็นต์การใช้งานของอสมการ Jensen สำหรับตัวผมเอง ก็น้อยมากครับ เมื่อเทียบกับอสมการตัวอื่นๆ อย่าง AM-GM-HM หรือ Cauchy schwarz

ดังนั้นตอนที่ผมจะตอบคำถามคุณ DeBoRo ผมจึงนึกถึงสิ่งทีผ่านตาผมมามากกว่า นั่นก็คือ นิยามดั้งเดิมที่เคยเรียนและเคยอ่านมา จากวิชาทาง optimization ครับ

หวังว่าคุณ gon จะเลิกตกใจเกี่ยวกับประเด็นนี้ แล้วนะครับ

[DeBoRo]

ขอขอบคุณนะครับสำหรับคำตอบที่ให้มา ตอนนี้ก็เข้าใจขึ้นเล็กน้อยแต่ก็ยังไม่เห็นภาพอยู่ดี(ก็ยังงงอยู่นั่นแหละ) แต่ไม่เป็นไรครับผมจะลองไปทำความเข้าใจดูอีกสักรอบสองรอบคงเข้าใจมากขี้น ขอบคุณครับ