ถึงคุณ nongtum

[ZiLnIcE]

โจทย์บอกว่า จงแสดงว่า n^2-n+41 เป็นจำนวนเฉพาะ เมื่อ n=3,5,7 ครับ ช่วยพิสูจน์ทีนะคับ

[R-Tummykung de Lamar]

ก็เอา 3 , 5 , 7 ไปแทนเลยก็ได้นี่ครับ
แล้วก็ มันจะไม่ใช่จำนวนเฉพาะเมื่อ n = 41

[ZiLnIcE]

โจทย์ให้พิสูจน์อ่ะครับ

[nongtum]

แทนค่าบอกว่าจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งในระดับนี้ถือว่าจริงโดยไม่ต้องแสดงอะไรเพิ่มเติมครับ เพราะตรวจสอบได้ง่ายๆ เว้นแต่ว่าจะแสดงทีละตัวๆ เช่นด้วยการไล่หารด้วยจำนวนเฉพาะบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับรากที่สองของฟังก์ชันนี้ ถ้าแสดงได้ก็จบการพิสูจน์ครับ

การพิสูจน์ ไม่จำเป็นต้องยาวหรือซับซ้อนเสมอไปครับ แสดงได้ว่าจริงก็จบ อยากถามเหมือนกันว่าน้องเข้าใจ'การพิสูจน์'ว่าอย่างไรดีกว่า จะได้จัดให้ถูก

ปล. คราวหลังส่งมาหลังไมค์หรือตอบต่อจากกระทู้เดิมก็ได้ครับ

[ZiLnIcE]

คือว่าทีแรกผมก็ทำแบบนี้อ่ะครับ แต่ว่าเพื่อนบอกว่าให้พิสูจน์ไม่ใช่การแทนค่าแล้วบอกเหตุผล แต่ยังไงก็ขอขอบคุณคุณ nongtum นะครับที่ให้คำแนะนำ

[tunococ]

เริ่มรำคาญแทน - -"

อยากให้ยาว ผมตอบให้ก็ได้ครับ
\[n = 3 \rightarrow n^2 - n + 41 = 47\]
\[\begin{eqnarray}
47 & = & (23)2 + 1 \\
47 & = & (15)3 + 2 \\
47 & = & (9)5 + 2
\end{eqnarray}\]ดังนั้น 47 เป็นจำนวนเฉพาะ

\[n = 5 \rightarrow n^2 - n + 41 = 61\]
\[\begin{eqnarray}
61 & = & (30)2 + 1 \\
61 & = & (20)3 + 1 \\
61 & = & (12)5 + 1 \\
61 & = & (8)7 + 5
\end{eqnarray}\]ดังนั้น 61 เป็นจำนวนเฉพาะ

\[n = 7 \rightarrow n^2 - n + 41 = 83\]
\[\begin{eqnarray}
83 & = & (41)2 + 1 \\
83 & = & (27)3 + 2 \\
83 & = & (16)5 + 3 \\
83 & = & (11)7 + 6
\end{eqnarray}\]ดังนั้น 83 เป็นจำนวนเฉพาะ

หยั่งงี้พอยังครับ

[นักเรียนทุน]

ผมคิดว่าที่คุน nongtumทำไปนั้นเหมือนกับว่าจะไม่ใช่การพิสูจน์เลยอ่ะ เพราะวิทีล่างสุดที่คุนบอกว่ายาวนักหนานั้นอ่ะ มานก้อยางไม่ใช่การพิสูจน์อยู่ดี เหมือนกับว่าเปงกานแทนค่าอ่ะแหละ วิทีการพิสูจนนั้นเราต้องทำเหตุให้กลายเปงผลหั้ยได้ นั่นแสดงว่า เราต้องใช้วิทีอารายก้อได้เพื่อเปลี่ยนจากประโยคที่ว่า n^{2}-n+41 เปงจำนวนเฉพาะ แปลงไปเรื่อยๆๆๆจนได้ผลออกมาเองโดยที่เราไม่ได้แทนค่าเลย คือมานจาออกมาเองเลยว่า n= 3,5,7 โดยที่เราไม่ต้องไปเอาผลจากโจทย์ไปแทนค่าเลย

[tunococ]

โจทย์มันห่วยอะครับ อาจารย์ไม่น่าจะออกโจทย์แบบนี้

แล้วก็ ... วิธีพิสูจน์ตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะเมื่อ n = 3, 5, 7 หนะ ของผมยังมีหลักการกว่าอีก ตอนแรกทำไมคุณเลือก 47 ก็ไม่มีเหตุผล

สรุปแล้ว หลักการของคุณก็คือ หยิบจำนวนเฉพาะมาเรื่อย ๆ แล้วลองหาว่ามี n เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ \(n^2 - n + 41\) เท่ากับเลขตัวนั้นรึเปล่า ซึ่งถ้าโจทย์มันยากกว่านี้ n เป็นค่ามากกว่านี้ คุณก็ต้องแทนค่าอีกนานกว่าจะหาได้

แต่วิธีของผม ใช้เวลาเพียง \(O(\sqrt{n} \log n)\) ก็รู้แน่นอน ว่าผลลัพธ์เป็นจำนวนเฉพาะรึเปล่า

อีกอย่าง ... การแสดงว่าตัวเลขตัวนึง ไม่มีตัวประกอบจำนวนเต็มบวกนอกจาก 1 กับตัวมันเอง มันก็เป็นการพิสูจน์ว่าเลขตัวนั้นเป็นจำนวนเฉพาะนะ

นิยาม: \(p \in Z^+\) เป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ \(\{ x \in Z^+ \mid x \ หาร\ p\ ลงตัว\}\) มีสมาชิกสองตัว

[นักเรียนทุน]

สงสัยเดี๋ยวคงจาเปงเรื่องใหญ่ไปแล้วมั้ง แต่ผมก้อไม่ค่อยชอบเท่าไหร้กะคนที่มาว่าโจทย์ห่วย
เพราะผมคิดว่าที่ผมชอบคณิตศาสตร์มาถึงทุกวานนี้ก้อเปงเพราะว่าโจทย์อ่ะแหละ คุนtonococจะมาว่าโจทย์ผมก้อรู้สึกว่าเหมือนกะคุนว่าอาจารย์ของตัวเองอ่ะ อีกอย่างผมก้อไม่รู้สึกเลยนะว่าโจทย์ข้อนี้มานห่วยตงไหน อีกอย่างจุดประสงค์ของโจทย์หั้ยเราพิสูจน์หั้ยเค้าดูว่า ถ้า n=3,5,7 มานจาทามหั้นประโยคนั้นอ่ะเปงจำนวนเฉพาะ มานก้อไม่เหงจาห่วยอารายเลย
อีกอย่างวิทีของคุนอ่ะ ถึงแม้ว่าจะมีการเอาทิดสะดีบดที่คุนกล่าวไว้มาอ้าง แต่มานก้อยางไม่พ้นการแทนค่าอยู่ดี ซึ่งผมคิดว่าการแทนค่านั้นครายๆๆก้อทามกานได้หมด โจทย์คงไม่ต้องถึงขึ้นสั่งว่าพิจน์ก้อได้ และก้อวิทีที่คุนบอกว่าผมมั่วค่าขึ้นมาอ่ะ ตามจิงดูแล้วเหมือนว่าจามั่วขึ้นมาแต่มานก้อมีหลักการคิดต่อหั้ยคุนจาเพิ่มเลขขึ้นมามากแค่ไหนผมก้อหาได้อยู่ดี
วิทีการทำ เนื่องจาก n(n-1)+41 เปงจำนวนเฉพาะ สมมติโจทย์หั้ยเราพิสูจน์ว่า ถ้าประโยคดังกล่าวเปงจำนวนเฉพาะ เมือ n=5
ผมก้อเอาn=5ไปแทนค่าในสมการเลย 5(5-1)+41ซีงเท่ากับ 61
เราก้อพยายามหลีกเลี่ยงหั้ยเค้าเหนว่าเราแทนค่าโดยทำเปง
n(n-1)+41 =61 แล้วก้อแก้สมการออกมาคำตอบจะบีบบังคับและโชว์หั้ยเราเหนออกมาเลยว่า n=5

[M@gpie]

อามิตตาพุทธ หยุดเถิดโยม ทั้งหลาย

[tunococ]

วิธีของคุณ ยังไงมันก็คือการแทนค่าอยู่ดี

ป.ล. แล้วรู้ได้ไงว่า 61 เป็นจำนวนเฉพาะ?

[tunococ]

อีกอย่าง จะว่าโจทย์ห่วยมันก็ไม่เชิงอะนะ แต่ถ้าวิธีของคุณเป็นเฉลย มันจะห่วย มีที่ไหน มั่วเลขไปแทนในตัวแปร แล้วไปแก้สมการอีกทีให้ได้เลขตัวเดิม

เอาให้ชัด ๆ เลยนะ วิธีแทนค่า ทำแบบนี้

ให้ \(P(n) = n^2 - n + 41\)
1. ตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของ P(3) \(\rightarrow\) เป็น
2. ตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของ P(5) \(\rightarrow\) เป็น
3. ตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของ P(7) \(\rightarrow\) เป็น

แล้ววิธีของคุณคือ

ให้ \(P(n) = n^2 - n + 41\)
1. ตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของ P(3) \(\rightarrow\) เป็น
2. ตั้งสมการ \(P(n) = P(3)\) แล้วแก้สมการ \(\rightarrow n = 3\) (ไม่สนคำตอบติดลบ)
3. ตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของ P(5) \(\rightarrow\) เป็น
4. ตั้งสมการ \(P(n) = P(5)\) แล้วแก้สมการ \(\rightarrow n = 5\) (ไม่สนคำตอบติดลบ)
5. ตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของ P(7) \(\rightarrow\) เป็น
6. ตั้งสมการ \(P(n) = P(7)\) แล้วแก้สมการ \(\rightarrow n = 7\) (ไม่สนคำตอบติดลบ)

ไม่เข้าใจว่า ไอ้ขั้นตอนที่เพิ่มมาเนี่ย (2, 4, 6) มันทำให้ดูเป็นการพิสูจน์มากขึ้นตรงไหน???

[Sir Isac Mewton]

เห็นมีคนตอบเยอะ นึกว่ามีโจทย์ยากส์ซะอีก
เอ่อ...คือที่ร.รผมเค้าก็มีโจทย์ให้พิสูจน์แนวนี้เหมือนกานนะ คือผมว่าไอ้การที่เราแทนค่า n=3,5,7 ลงไปมันก็ไม่น่าจะผิดน้า เพราะว่าโจทย์บอกว่า "...เป็นจำนวนเฉพาะ เมื่อ n=3,5,7..." ผมคิดว่าน่าจะหมายความให้เราแทนค่ามากกว่านาครับ ไม่เห็นต้องทำให้มานยากเลยนี่ ผมว่า

"วิธีที่ง่ายที่สุดที่แก้ปัญหาได้ ก็น่าจะเป็นวิธีที่ดีสุด"

เห็นด้วยป่ะครับ

[ZiLnIcE]

ผมเห็นด้วยกับคุณ นักเรียนทุนนะครับ ผมว่าวิธีพิสูจน์มันต้องเป็นวิธีที่ทำเป็นกระบวนการ
ให้ได้ผลลัพธ์ออกมาว่าจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะเมื่อ n เป็นเท่านี้ ผมงงกับวิธีของคุณ tunococอ่ะครับ


ปล.ช่วยให้เคลียร์ทีครับ

[tunococ]

คือ ผมสรุปให้ว่า โจทย์นี้ต้องแทนค่าอย่างเดียวครับ

วิธีที่ผมแสดงให้เห็นข้างบน คือ วิธีตรวจสอบว่า เมื่อแทนค่าแล้ว เลขที่ได้ "เป็นจำนวนเฉพาะ"

แต่ถ้าหากคิดว่า ขั้นตอนนั้นไม่จำเป็น (คือ สมมติว่ารู้อยู่แล้วว่า 61 เป็นจำนวนเฉพาะ) การแทนค่าเพียงอย่างเดียวก็เพียงพอครับ และก็ "ไม่น่าจะ" ทำอย่างอื่นได้ด้วย

ตัวอย่างที่ผมยกให้ดูในความเห็นข้างบน เป็นการบอกว่า วิธีของคุณนักเรียนทุน ไม่แตกต่างจากการแทนค่า นอกจากนั้น การตั้งสมการ P(n) = P(3) แล้วหาคำตอบนั้น ยังไงก็ต้องได้ n = 3 เป็นคำตอบอยู่แล้ว เป็นขั้นตอนที่สิ้นเปลืองและเปล่าประโยชน์ ผมไม่เข้าใจว่าขั้นตอนนี้ ทำให้ดูเหมือนเป็นการพิสูจน์ที่มีหลักการตรงไหน (มันอาจจะลึกล้ำจนเกินความเข้าใจของผมก็ได้ )

ถ้าจะให้ผมเสนออีกวิธีนึง ที่อาจจะดูมีหลักการมากกว่าการแทนค่านิดนึง (ผมก็ไม่เห็นว่ามันดีกว่าจริง ๆ แหละ ถ้าโจทย์ถามแบบนี้) ก็คือ คุณต้องหาเซตของ n ทั้งหมดที่ทำให้ P(n) เป็นจำนวนเฉพาะให้ได้ก่อน แล้วจึงบอกว่า {3, 5, 7} เป็น subset ของเซตนั้น ซึ่ง ... ผมยังไม่สามารถหาเซตดังกล่าวได้ครับ ใครหาได้ช่วยบอกด้วย

อย่างไรก็ตาม การที่จะบอกว่า {3, 5, 7} เป็น subset ของเซตดังกล่าว ก็ไม่จำเป็นต้องหาเซตดังกล่าวทั้งเซต ไป ๆ มา ๆ ผมก็เลือกที่จะแทนค่าหละครับ ผมไม่สามารถหาวิธีที่ง่ายและถูกต้องกว่านี้ได้อีกแล้ว

ป.ล. ผมไม่คัดค้านวิธีที่ "ดีกว่า" นะ