โอลิมปิก ปี 2539 คิดไม่ออก

[ครูนะ]

ในรูปของสี่เหลี่ยมนูน ABCD เส้นทแยงมุม AC และ BD ตั้งฉากกัน แต่ด้าน AB และ DC ที่อยู่ตรงข้ามกัน ไม่ขนานกัน สมมุติว่า จุด P ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากด้าน AB และ DC อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยม ABCD
จงพิสูจน์ว่า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้ ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยม ABP และ CDP มีพื้นที่เท่ากัน

รบกวนผู้รู้ช่วยผมด้วยครับ คิดแล้วไม่ออกจริงๆ ขอเพียงคำแนะนำก็ได้ครับทั้งขาไปและขากลับ

[Onasdi]

ขาไปง่ายกว่าครับ สมมติว่า ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ จะได้ว่า P ต้องเป็นจุดศูนย์กลาง เพราะ P เป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของคอร์ดสองคอร์ด
นั่นคือ PA=PB=PC=PD และเนื่องจาก $\angle ACB+\angle DBC=90^\circ$ ได้ $\angle APB+\angle DPC=90^\circ$ ลองต่อดูครับ

ขากลับครับ เรียกจุดกึ่งกลาง AB, CD ว่า X, Y เรียกจุดตัด AC กับ BD ว่า Z
ต่อ ZX กับ ZY จะได้ว่า ZX=AX และ ZY=CY
ดังนั้นพื้นที่ที่เท่ากัน$\Rightarrow XP\cdot XZ=YP\cdot YZ$
ไล่มุม จะได้ $\angle XZY=\angle XPY$
ดังนั้น ZXY คล้ายกับ PXY
สุดท้ายไล่มุมจะได้ $\angle XAZ=\angle YDZ$

เหลือรายละเอียดไว้ให้คิดเต็มเลยครับ

[ครูนะ]

ขอบคุณมากครับ ผมต่อได้แล้ว ยากจริงๆ