ข้อสอบเรื่องตรีโกณมิติครับ

[ครูหนุ่ม]

1. tan 46+tan44-tan1(tan46-tan44)=?????

2. กำหนดให้ cosec^2(A+B)-sin^2(A-B)+sin^2(2A-B)=cos^2(B-A)
โดยที่ A,Bอยู่ในQ1 จงหาค่า sin(A-B)

3. รูปสามเหลี่ยม ABC รูปหนึ่งมี AC=BC และ AB/AC=rจงพิสูจน์ว่า cosA+cosB+cosC=1+r-r^2/2

รบกวนทุกคนช่วยด้วยนะครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูหนุ่ม

1. tan 46+tan44-tan1(tan46-tan44)=?????

$\tan 46 + \tan 44 = \sin 46/\cos 46 + \sin 44/\cos 44 = 2/\cos 2 = \frac{2(1+\tan^21)}{1-\tan^21}$

ทำนองเ้ดียวกัน

$\tan 46 - \tan 44 = \sin 46/\cos 46 - \sin 44/\cos 44 = 2\sin 2/\cos 2 = \frac{4\tan1}{1-\tan^21}$

แทนค่าัทั้งสองลงในโจทย์จะได้

$\frac{2(1+\tan^21)-4\tan^21}{1-\tan^21} = 2$

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูหนุ่ม

2. กำหนดให้ $\csc^2(A+B)-sin^2(A-B)+sin^2(2A-B)=cos^2(B-A)$
โดยที่ A,B อยู่ใน Q1 จงหาค่า sin(A-B)

$\csc^2(A+B) +\sin^2(2A-B) = 1 $

เนื่องจาก $\csc^2(A+B) \ge 1$ และ $0 \le \sin^2(2A-B) \le 1$

ดังนั้นสมการจะเป็นจริงเมื่อ

$\csc^2 (A+B) = 1$ และ $\sin(2A-B) = 0$

$A + B = m\pi \pm \frac{\pi}{2}$ และ $2A - B = n\pi$

แก้ระบบสมการ จะได้


$(A, B) = (\frac{(2m+2n+1)\pi}{6}, \frac{(2m-n+1)\pi}{3}), (\frac{(2m+2n-1)\pi}{6}, \frac{(2m-n-1)\pi}{3})$

เลือก
(m, n) = (0, 0) สำหรับ (A, B) ชุดแรก หรือ
(m, n) = (1, 0) สำหรับ (A, B) ชุดหลัง

ดังนั้น $A = \pi/6 , B = \pi/3$

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูหนุ่ม

3. รูปสามเหลี่ยม ABC รูปหนึ่งมี AC=BC และ AB/AC=r
จงพิสูจน์ว่า cosA+cosB+cosC=1+r-r^2/2

โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติให้ AB = r และ BC = AC = 1

(หรือสมมติเป็น kr, k, k ก็ไม่ต่างกันตอนหาค่า cos)

โดยกฎของโคไซน์จะได้

$\cos A = \cos B = \frac{1^2+r^2-1^2}{2(1)(r)} = \frac{r}{2}$

$\cos C = \frac{1^2+1^2-r^2}{2} = 1 - \frac{r^2}{2}$

เมื่อนำค่าทั้งสามมารวมกัน ก็จะได้ตามที่ต้่องการพิูสูจน์