ปัญหาตรีโกณมิติอีกแล้วครับ

[ครูหนุ่ม]

1.ถ้ามี A,Bอยู่ในQ1 ที่ทำให้ tanA ,tanB เป็นรากของสมการ x^2+px+q=0
แล้ว sin^2(A+B)+psin(A+B)cos(A+B)+qcos^2(A+B) มีค่าเท่าใดในเทอมของ p ,q

2.ถ้า sin(x+y)=2sin(x-y) และ 2x+y=พาย/2 แล้ว tan^2(x)=????

3.กำหนดให้ A(x)=cosx+cos3x+...+cos2553x ผลบวกของค่า x ทั้งหมดในช่วง [0,พาย] ซึ่ง A(x)=0 เป็นเท่าใด

4.จงหาค่า x ที่ทำให้ cos^10x-sin^10=1 เป็นจริง เมื่อ xอยู่ใน[0,2พาย]

5.กำหนดให้ sec^2(A+B)+cosec^2(A-B)=2 โดยที่ Aอยู๋ในQ1 และ Bอยู๋ในQ4จงหาค่าของ 2sinBcosA

6.ถ้าความยาวของเข็มยาวและเข็มสั้นของนาฬิกาเท่ากับ 6ซม 4ซมตามลำดับ
จงหาระยะทางจากจุดปลายของเข็มยาวไปยังจุดปลายของเข็มสั้นเมื่อนาฬิกาเรือนนี้บอกเวลา 14.00น.

ขอบคุณมากครับบบบ..........

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูหนุ่ม

1.ถ้ามี A,Bอยู่ในQ1 ที่ทำให้ tanA ,tanB เป็นรากของสมการ x^2+px+q=0
แล้ว sin^2(A+B)+psin(A+B)cos(A+B)+qcos^2(A+B) มีค่าเท่าใดในเทอมของ p ,q

p = -(tan A + tan B)

q = tan A tan B

แต่ tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1- tan A tan B) = -p/1-q = p/(q-1)

$sin^2(A+B)+psin(A+B)cos(A+B)+qcos^2(A+B)$

$=cos^2(A+B)(tan^2(A+B) + ptan(A+B) + q)$

$= \frac{1}{1+tan^2(A+B)}(tan^2(A+B) + ptan(A+B) + q)$

แทนค่า tan(A + B) ก็จบครับ.

[ครูหนุ่ม]

สุดยอดจริงๆๆๆ

ข้าน้อยขอคารวะจากใจจริง...

[poper]

ข้อ 2 ให้หา tan กำลัง 2 ของอะไรอ่ะครับ

[ครูหนุ่ม]

ออ ของ x ครับบบบ

[poper]

ข้อ 2 ทำแบบตรงๆเลยนะครับ
$tan^2x=\frac{sin^2x}{cos^2x}$ แทนค่า $y=\frac{\pi}{2}-2x$ ใน
$sin(x+y)=2sin(x-y)$ จะได้
$sin(\frac{\pi}{2}-x)=-2sin(\frac{\pi}{2}-3x)$
$cos x=-2cos3x$
$cosx=-2(4cos^3x-3cosx)$
$8cos^3x-5cosx=0$
$cosx(8cos^2x-5)=0$
$cosx=0 ,cos^2x=\frac{5}{8}$
$cosx=0$ tan หาค่าไม่ได้ ดังนั้น
$cos^2x=\frac{5}{8}$ จะได้ $sin^2x=\frac{3}{8}$
$tan^2x=\frac{3}{5}$

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูหนุ่ม

3.กำหนดให้ $A(x)=cosx+cos3x+...+cos2553x$ ผลบวกของค่า x ทั้งหมดในช่วง $[0, \pi]$ ซึ่ง A(x)=0 เป็นเท่าใด

$S = cosx+cos3x+...+cos2553x$

$(2sin x)S = 2sin x(cosx+cos3x+...+cos2553x)$

(คูณกระจายนิพจน์ทางขวามือ แล้วตัดกัน)

$(2sin x)S = sin 2554x$

$S = \frac{sin 2554x}{2sinx} = 0$

เมื่อ sin 2554x = 0 และ $sin \ne 0$

$2554x = m\pi$ และ $x \ne n\pi$

$x=m\pi/2554, m = 1, 2, ... , 2553 $

[~ArT_Ty~]

ข้อ 6. จะได้ว่าเข็มทำมุมกัน 60 องศา

$\therefore $ ปลายเข็มจะอยู่ห่างกัน $\sqrt{6^2+4^2-2\cdot 6\cdot 4\cos 60^{\circ}} =2\sqrt{7} $ เซนติเมตร

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูหนุ่ม

4.จงหาค่า x ที่ทำให้ $cos^{10}x-sin^{10}x=1$ เป็นจริง เมื่อ x อยู่ใน $[0,2\pi]$

ข้อ 4. เนื่องจาก $0 \le cos^{10}x \le 1$ 1และ $0 \le sin^{10}x \le 1$

ดังนั้นสมการจะเป็นจริงเมื่อ
$cos^{10}x = 1$ และ $sin^{10}x = 0$

$x = m\pi$ และ $x = n\pi$

ดังนั้น $x = 0, \pi, 2\pi$

5.กำหนดให้ $sec^2(A+B)+cosec^2(A-B)=2$ โดยที่ A อยู่ใน Q1 และ Bอยู่ ใน Q4 จงหาค่าของ 2sinBcosA$

คล้ายกับข้อที่ผมเฉลยในคำถามก่อน สมการจะเป็นจริงเมื่อ

$sec^2(A+B) = 1$ และ $cosec^2(A-B)=1$ เท่านั้น

$A + B = m\pi$ และ $A - B = n\pi \pm \pi/2$

จากนั้นก็แก้ระบบสมการออกมาเหมือนเคยครับ.

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

เหลือข้อ 5. ผมลองแจมด้วยนะครับ
จากเอกลักษณ์ $sec^2x-tan^2x=1$ และ $COSEC^2X-COT^X=1$
จะได้ว่า $sec^2(A+B)+cosec^2(A-B)=2$
จัดรูปเป็น$1+tan^2(A+B)+1+cot^2(A-B)=2$
$tan^2(A+B)+cot^2(A-B)=0$
เป็นจริงเมื่อ $tan(A+B)=0 และ cot(A-B)=0$
หรือ $sin(A+B)=0 และ COS(A-B)=0$
จะได้ $A=45^0 กับ B=315^0$
$2sinBcosA=-1$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูหนุ่ม

3.กำหนดให้ A(x)=cosx+cos3x+...+cos2553x ผลบวกของค่า x ทั้งหมดในช่วง [0,พาย] ซึ่ง A(x)=0 เป็นเท่าใด

ขอทำต่อที่คุณสามดาวทำไว้

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

$S = cosx+cos3x+...+cos2553x$

$(2sin x)S = 2sin x(cosx+cos3x+...+cos2553x)$

(คูณกระจายนิพจน์ทางขวามือ แล้วตัดกัน)

$(2sin x)S = sin 2554x$

$S = \frac{sin 2554x}{2sinx} = 0$

เมื่อ sin 2554x = 0 และ $sin \ne 0$

$2554x = m\pi$ และ $x \ne n\pi$

$x=m\pi/2554, m = 1, 2, ... , 2553 $

ผลบวกของค่า x ทั้งหมด =$\dfrac{\pi }{2554}\times (1+2+...+2553) =\dfrac{2553\pi}{2} $

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูหนุ่ม

4.จงหาค่า x ที่ทำให้ $cos^{10}x-sin^{10}x=1$ เป็นจริง เมื่อ xอยู่ใน[0,$2\pi $]

เพิ่งมีเวลานั่งแก้เป็นเรื่องเป็นราว..แอบเหน็บโจทย์ไปนั่งรอลูกสอบคณิตศาสตร์ one2one
$cos^{10}x-sin^{10}x =(cos^5x-sin^5x)(cos^5x+sin^5x)$

$cos^5x=(1-sin^2x)^2\bullet cosx = cosx-2cosx\cdot sin^2x+sin^4x\cdot cosx$
$sin^5x=(1-cos^2x)^2\bullet sinx =sinx-2sinx\cdot cos^2x+cos^4x\cdot sinx$
$cos^5x+sin^5x=(cosx+sinx)[1-2sinx\cdot cosx+sinx\cdot cosx(1-sinx\cdot cosx)]$
$cos^5x-sin^5x=(sinx-cosx)[sinx\cdot cosx(1+sinx\cdot cosx)-(1+2sinx\cdot cosx)]$
$(cos^5x-sin^5x)(cos^5x+sin^5x)=(-cos2x)[(sin2x+1)^2-5][(sin2x-1)^2-5]=\dfrac{cos2x}{16} \cdot (cos^22x-5)^2$.......ตรงนี้ถ้าเขียนครบทุกบรรทัด คงจะอีกหลายบรรทัด ผมขอข้ามไปเลย ตรงไหนดูไม่เข้าท่าก็บอกกันได้ครับ
แทนค่า$cos^{10}x-sin^{10}x=1$ จัดรูปสมการจะได้
$cos2x\cdot (cos^22x-5)^2=16$
ให้$A=cos2x$ จะได้ว่า$A(A^2-5)^2-16=0$
$A(A^4-10A^2+25)-16=0 \rightarrow A^5-10A^3+25A-16=0$
ถ้า$A=1 , 1-10+25-16=0$..แสดงว่ามี$(A-1)$เป็นตัวประกอบ
$A^5-10A^3+25A-16=(A-1)(A^4+A^3-9A^2-9A+16)$
$A^4+A^3-9A^2-9A+16=(A-1)(A^3+2A^2-7A-16)$
เนื่องจาก$-1\leqslant A \leqslant1 \rightarrow -1\leqslant A^3 \leqslant1$
$0\leqslant 2A^2 \leqslant 2$ และ$-7\leqslant -7A \leqslant 7$
$-8 \leqslant A^3+2A^2-7A \leqslant 10 \rightarrow -24 \leqslant A^3+2A^2-7A -16\leqslant -6 $ ค่าที่ได้ไม่มีช่วงที่เป็นศูนย์ได้ ดังนั้น$A^5-10A^3+25A-16=0$ เมื่อ$A-1=0$
เมื่อกี้ทำถึงตรงนี้แล้วก็มีธุระ....จริงๆก็ขอบคุณคุณสามดาวด้วยที่ช่วยชี้แนะคือ ผมอยากแค่ดูว่าค่าของ$A^3+2A^2-7A -16$เป็นศูนย์ได้ไหม เพราะถ้าค่านี้ไม่เป็นศูนย์ก็จะได้สรุปว่า$A^5-10A^3+25A-16=0$ เมื่อ $A-1=0$ เพราะว่า $A^5-10A^3+25A-16=(A-1)^2\cdot (A^3+2A^2-7A -16)$
ผมไม่ได้สนใจค่า$A^3+2A^2-7A -16$จะมีค่าเท่าไหร่ ขอดูอย่างเดียวว่าไม่คร่อมศูนย์ก็พอ เพื่อเอาไปสรุปใช้
ดังนั้น$A=cos2x=1 \rightarrow (cosx-1)(cosx+1)=0$
ดังนั้น$cosx-1=0$ หรือ $cosx+1=0$
$cosx=1$ หรือ $cosx=-1$
ดังนั้นจะได้ว่า$x=0,\pi ,2\pi $

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$A^5-10A^3+25A-16=(A-1)(A^4+A^3-9A^2-9A+16)$
$A^4+A^3-9A^2-9A+16=(A-1)(A^3+2A^2-7A-16)$
เนื่องจาก$-1\leqslant A \leqslant1 \rightarrow -1\leqslant A^3 \leqslant1$
$0\leqslant 2A^2 \leqslant 2$ และ$-7\leqslant -7A \leqslant 7$
$-8 \leqslant A^3+2A^2-7A \leqslant 10 \rightarrow -24 \leqslant A^3+2A^2-7A -16\leqslant -6 $ ค่าที่ได้ไม่มีช่วงที่เป็นศูนย์ได้ ดังนั้น$A^5-10A^3+25A-16=0$ เมื่อ$A-1=0$

วิธีการประมาณแบบนี้ คุณกิตติต้องระวังนะครับ เพราะมันจะให้ช่วงที่หยาบและผิดได้ ที่หยาบก็คือกว้างเกินไป ที่ผิดก็คือมีบางค่าในช่วงที่เป็นไปไม่ได้

$A^3+2A^2-7A -16$ เป็นพหุนาม ถ้าเรามองแยกก้อน ก็จะเหมือนเราประมาณแบบเชิงเส้นเอามาต่อ ๆ กัน ยิ่งต่ิอมากก็ยิ่งคลาดเคลื่อน เราควรจะมองเป็นก้อนเดียวกัน แล้วหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดสัมพัทธ์ โดยใช้แคลคูลัส จากนั้นก็หาค่าในช่วงปลายทั้งสอง จึงสรุปครับ

ในที่นี้ $f(A) = A^3+2A^2-7A -16$

$f'(A) = 3A^2 + 4A - 7 = (3A + 7)(A-1) = 0 $

ดังนั้น A = -7/3 กับ A = 1 เป็นค่าิวิกฤต

แต่ A = -7/3 เป็นไปไม่ได้อยู่แล้ว ดังนั้น f(-7/3) ไม่จำเป็นต้องหาก็ได้ เพราะ $-1 \le A \le 1$

f(ค่าวิกฤต) = f(1) = -20
f(ขอบซ้าย) = f(-1) = -8
f(ขอบขวา) = f(1) = -20

ดังนั้น $-20 \le f(A) \le -8$

ถ้าทำแบบแยกก้อนที่คุณกิตติทำตอนแรก ได้ $-24 \le f(A) \le -6$

เ่ช่น เราจะไม่สามารถหาจำนวนจริง A ซึ่ง $-1 \le A \le 1$ ที่ทำให้ f(A) = -6 หรือ f(A) = -21, -24 ได้ เป็นต้นครับ.