sup and inf

[ครูหนุ่ม]

find sup(A) and inf(A)

A={1/n-1/m :m,n are N}

Thanks""""

[Onasdi]

การหา sup เราก็ดูว่าสมาชิกในเซตนี้มีค่ามากได้แค่ไหน
$\frac{1}{n}-\frac{1}{m}$ มีค่ามากเมื่อ $\frac{1}{n}$ มากและ \frac{1}{m} น้อย
นั่นก็คือ $n$ น้อย $m$ มาก
ทีนี้ก็จะเห็นแล้วครับว่า $\sup A$ เป็นเท่าไหร่

[ครูหนุ่ม]

รบกวนหาให้หน่อยได้มั้ยครับพอดีผมไม่ออกครับ..............ขอบคุณมากๆๆนะครับ พรุ่งนี้สอบครับ

ถ้าไม่เป็นการรบกวนเท่าไรรบกวนอีกข้อนะครับ

{1-(-1)^n/n : n เป็นจำนวนนับ}

[Onasdi]

โอเคครับ ต่อจากเมื่อกี้ $\frac{1}{n}-\frac{1}{m}$ จะมากที่สุดเมื่อ n=1 และ m มากๆ ก็คืออยู่ในรูป $1-\frac{1}{m}$ ซึ่งเห็นว่าจะเข้าใกล้ 1 จากด้านล่าง ดังนั้น $\sup A=1$ ครับ

ในทำนองเดียวกันเลย ได้ $\inf A=-1$ ครับ

สำหรับข้อสอง เขียนออกมาจะเห็นชัดขึ้นครับ
$1+\frac{1}{1},1-\frac{1}{2},1+\frac{1}{3},1-\frac{1}{4},1+\frac{1}{5},\dots$
ชัดเจนว่า $1+\frac{1}{1},1+\frac{1}{3},1+\frac{1}{5},\dots$ น้อยลงเรื่อยๆ ดังนั้น sup=2
และ $1-\frac{1}{2},1-\frac{1}{4},1-\frac{1}{6},\dots$ มากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น inf=1/2

[ครูหนุ่ม]

ขอบคุณมากๆๆนะครับบบผม

ขอรบกวนอีกครั้งนะครับ
หาsup,inf ได้แล้ว
แต่โจทย์สั่งให้ พิสูจน์ด้วยอะครับแนะหน่อยครับ


ปล.อาจารย์เขาพูดเหมือนจะออกสอบข้อนี้เลยครับ...รบกวนด้วยนะครับ

[Onasdi]

1. การพิสูจน์ว่า $\sup A=1$ ต้องพิสูจน์สองอย่างคือ

• $a\le 1$ ทุก $a\in A$

แสดงได้โดย $\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\le 1-0=1$ เพราะ $n\ge 1$ และ $m>0$

• $1\le b$ ทุก $b$ ที่เป็น upper bound ของ $A$

สมมติว่า $b<1$ จะต้องแสดงว่า $b$ ไม่ใช่ upper bound ของ $A$
เนื่องจาก $1-\frac{1}{m}\rightarrow 1^-$ เมื่อ $m\rightarrow \infty$
ได้ว่ามี $m$ ซึ่ง $b<1-\frac{1}{m}$ ดังนั้น $b$ ไม่ใช่ upper bound ของ $A$

สำหรับ $\inf A=-1$ ก็ทำนองเดียวกันครับ
ส่วนอีกข้อนึงลองดูเองนะครับ

[ครูหนุ่ม]

ขอบคุณอย่างที่หาที่สุดไม่ได้ครับที่อุตาส่าห์คิดให้ผม

ขอบคุณจริงๆๆครับบบ...........ครั้งหน้าถ้ามีปัญหา

ผมขออนุญาตถามอีกครั้งนะครับบผม..........

[Onasdi]

ไม่เป็นไรครับผม