จำนวนเชิงซ้อน

[ครูหนุ่ม]

1.กำหนด z1 และ z2 เป็นจำนวนเซิงซ้อนใดๆ
จงแสดงว่า z1.z2=0 ก็ต่อเมื่อ z1=0 หรือ z2=0

2.กำหนดให้ w=cos\theta +isin\theta เมื่อ cos\theta น้อยกว่า 0 และ 2cos^2\theta =1
ถ้า z เป็นจำนวนเซิงซ้อนมีสมบัติว่า lwzl=2 และ Arg(z/w)=พาย/4
จงหา z^2+z+1 ในรูป a+bi

3.กำหนดให้ z=root3-i จงตอบคำถามต่อไปนี้
3.1จงแสดงว่า z^n=2^n(cosnพาย/2-isinnพาย/2)
3.2จงหาค่าของจำนวนนับ n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ z^n เป็นจำนวนจริงบวก

4.กำหนดให้ z=-1+root3i จงหาค่าของจำนวนจริง p ที่ทำให้ Arg(z^2+pz)=5พาย/6

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูหนุ่ม

1.กำหนด $z_1$ และ $z_2$ เป็นจำนวนเซิงซ้อนใดๆ
จงแสดงว่า $z_1z_2$=0 ก็ต่อเมื่อ $z_1=0$ หรือ $z_2=0$

2.กำหนดให้ $w=\cos{\theta} +i\sin{\theta}$ เมื่อ $\cos{\theta}< 0$ และ $2\cos^2\theta =1$
ถ้า $z$ เป็นจำนวนเซิงซ้อนมีสมบัติว่า $|wz|=2$ และ $Arg(\frac{z}{w})=\frac{\pi}{4}$
จงหา $z^2+z+1$ ในรูป $a+bi$

3.กำหนดให้ $z=\sqrt{3}-i$ จงตอบคำถามต่อไปนี้
3.1 จงแสดงว่า $z^n=2^n(\cos{\frac{n\pi}{2}}-i\sin{\frac{n\pi}{2})}$
3.2 จงหาค่าของจำนวนนับ $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $z^n$ เป็นจำนวนจริงบวก

4.กำหนดให้ $z=-1+\sqrt{3}i$ จงหาค่าของจำนวนจริง $p$ ที่ทำให้ $Arg(z^2+pz)=\dfrac{5\pi}{6}$

ทำโจทย์ให้อ่านง่ายครับ เดี๋ยวคงมีคนมาช่วยคิด

[poper]

ข้อ 1 ตอนแรกจะพิสูจน์ขาไปครับ คือ ถ้า $z_1z_2=0$ แล้ว $z_1=0$ หรือ $z_2=0$
ให้ $z_1=a+bi$ $\ \ \ z_2=c+di$
$z_1\cdot z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i=0$
ดังนั้น $ac-bd=0$ --------------------(1) และ $ad+bc=0$----------------------(2)
$(2)\times c-(1)\times d :b(c^2+d^2)=0$ถ้า $c\not=d\not=0$ แล้ว $b=0$
$(i)$ ถ้า $b=0$ จาก $(1)$ และ $(2)$
$ac=0$ และ $ad=0$ $\therefore a=0$ ดังนั้น $z_1=0$
$(ii)$ ถ้า $c=d=0$ ดังนั้น $z_2=0$
จาก $(1)$ และ $(2)$ สรุป $z_1=0$ หรือ $z_2=0$
พิสูจน์ขากลับไม่ยากครับ

[poper]

ข้อ 2 ผมมีโจทย์แบบนี้เลยครับ แต่$\omega=cos\theta+icos\theta$ ทำแบบนี้ครับ
$\omega=cos\theta+icos\theta$
เนื่องจาก $cos\theta<0$ และ $2cos^2\theta=1$ ดังนั้น $cos\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\omega==-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$ จะได้ $|\omega|=1$
จาก $|\omega z|=|\omega||z|=|z|=2$ และ $Arg(\frac{z}{w})=\frac{\pi}{4}$
จะได้ $z=cos(\frac{3\pi}{2})+2isin(\frac{3\pi}{2})=-2i$
$z^2+z+1={(-2i)}^2+(-2i)+1=-3-2i$
(ไม่แน่ใจว่าโจทย์เหมือนกันรึป่าวครับ แล้วตัวผมเองก็ไม่รู้เรื่อง $Arg$ ด้วยลอกเค้ามาแบบนี้ ใครรู้ช่วยอธิบายทีครับ)

[poper]

ข้อ 3 น่าจะเป็น $z^n=2^n(cos\frac{n\pi}{6}-isin\frac{n\pi}{6})$ รึป่าวครับ ถ้าใช่ขอใช้วิธีอุปนัยคณิตศาสตร์นะครับ
$z=\sqrt{3}-i=2(cos(-\frac{\pi}{6})+isin(-\frac{\pi}{6}))=2(cos\frac{\pi}{6}-isin\frac{\pi}{6})$
ให้ $P(n):z^n=2^n(cos\frac{n\pi}{6}-isin\frac{n\pi}{6})$
$P(1)=2(cos\frac{\pi}{6}-isin\frac{\pi}{6})$ ดังนั้น $P(1)$ เป็นจริง
ให้ $P(k)$ เป็นจริง คือ$z^k=2^k(cos\frac{k\pi}{6}-isin\frac{k\pi}{6})$ จะพิสูจน์ว่า $P(k+1)$ เป็นจริง
$P(k+1)=2^k(cos\frac{k\pi}{6}-isin\frac{k\pi}{6})\cdot 2(cos\frac{\pi}{6}-isin\frac{\pi}{6})$
$=2^{k+1}[(cos\frac{k\pi}{6}cos\frac{\pi}{6}-sin\frac{k\pi}{6}sin\frac{\pi}{6})-(sin\frac{k\pi}{6}cos\frac{\pi}{6}+sin\frac{\pi}{6}cos\frac{k\pi}{6})i]$
$=2^{k+1}(cos\frac{(K+1)\pi}{6}-isin\frac{(k+1)\pi}{6})$ ดังนั้น $P(k+1)$ เป็นจริง
สรุป $z^n=2^n(cos\frac{n\pi}{6}-isin\frac{n\pi}{6})$
และข้อย่อยที่ 2 จะได้ว่า $n=6$ ครับ

[ครูหนุ่ม]

ก่อนอื่นขอบคุณทุกคนก่อนนะครับ
ขอบคุณคนที่อุตสาร์พิมใหม่ให้เพราะอ่านยากครับ โทษทีครับผมใช้พิมไม่เป็นครับ

ส่วน z=cos+isin ในโจทย์บอกอย่างนั้นครับบ นอกจากจารย์เขาพิมโจทผิด

ขอบคุณครับบ.........