Shortlist TMO2008

[tatari/nightmare]

ALGEBRA
A1(มหิดล)กำหนด $n\in\mathbb{N}$ จงหาค่าของ
$$\sum_{k = 1}^{n}\left\lceil\frac{(2k+2)!+(2k-1)!}{(2k+1)!+(2k)!}\right\rceil $$

A2(หาดใหญ่)ให้ $P(x)$ เป็นพหุนามที่สอดคล้อง $$(P(x))^2=xP(P(x))+2552^2$$ ทุก $x$
จงหาค่าของ $P(2551)P(-2551)$

A3(หาดใหญ่)$a,b,c>0$,จงพิสูจน์ว่า $$abc+2\leq\sqrt[3]{(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)}$$

A4(สวนกุหลาบ)กำหนดให้ $z_1,z_2,...,z_n$ คือรากที่แตกต่างกันทั้งหมดของสมการ
$$z^{11}+2z^{10}+3z^9+...+5z^7+6z^6+5z^5+...+3z^3+2z^2+z=0$$
จงหาผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของส่วนจินตภาพของ $z_1,z_2,...,z_n$

A5(สอวน)วันแรก ข้ออสมการสามเหลี่ยม

A6(มหิดล) จงหาค่าของ $ax^{13}+by^{13}$ โดยกำหนดว่า
$ax+by=5,ax^3+by^3=11,ax^5+by^5=35,ax^7+by^7=131$

A7(หาดใหญ่)$a,b,c\in\mathbb{R+}$,ที่$a<b\leq c$ และ
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}=\frac{883}{273}$$
จงหาค่าของ $\frac{a+b}{b+c}$

A8(สวนกุหลาบ)จงหาจำนวนของจำนวนนับทั้งหมดที่น้อยกว่า 2551 และ สามารถเขียนได้ในรูป$\left\lceil\,ax\right\rceil $ สำหรับ บาง $x$ เมื่อ $a=\left\lceil\,x\right\rceil$

A9(วลัยลักษณ์)วันแรก ข้อ floor function

A10(สอวน) วันแรก ข้อที่เป็น FE

A11(ศิลปากร)$a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า
$$\sum_{cyc} \frac{ab}{a^3+b^3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

A12(สอวน) วันแรก ข้อพหุนามดีกรี 2008

A13(สวนกุหลาบ) ให้ $S=\sum_{k=n+1}^{3n+1} \frac{1}{k}$ จงพิสูจน์ว่า $\frac{29}{27}< S<\frac{7}{6}$

A14(ขอนแก่น)$a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า $$\sum_{cyc} \frac{a}{2b+3c}\geq\frac{3}{5}$$

A15 เป็นข้อสอบ AL ค่าย2ของ สอวน ปี 2551 ข้อสุดท้าย

A16(สวนกุหลาบ)ให้ $r_1,r_2,r_3$ เป็นรากของ $f(x)=x^3+111x^2+1$ และ $P(x)$ เป็นพหุนามกำลัง 3
ซึ่ง $P(r_i+r_i^{-1})=0,i=1,2,3$ จงหาค่าของ $\frac{P(1)}{P(-1)}$

A17(วลัยลักษณ์)วันที่2 ข้อ 3

A18(วลัยลักษณ์)$a,b,c,d>0$ จงหาค่าสูงสุดของ
$$S=\dfrac{(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}$$

A19(สอวน.) วันที่2 ข้อ 6
TO BE CONTINUED........FIN

[owlpenguin]

A3 นี่ Holder โดยตรงเลยไม่ใช่เหรอครับ?

[tatari/nightmare]

ใช่ครับ แต่ว่าเฉลยเค้าใช้ am-gm ครับ

[owlpenguin]

A14 นี่ัมัน $\frac{3}{5}$ หรือเปล่าครับ เพราะพอแทน $a=b=c$ แล้วมันได้ $LHS=\frac{3}{5}<\frac{5}{3}$ น่ะครับ

[tatari/nightmare]

โทษทีครับ ที่พูดมาถูกแล้วครับ แก้แล้ว

[Art_ninja]

คุณ tatari ไปได้ข้อสอบชุดนี้มาจากที่ไหนครับ

[tatari/nightmare]

อาจารย์เค้าเพิ่งมาแจกให้วันนี้เองครับ

[RoSe-JoKer]

ข้อ 18 ตอบ 1 เพราะว่า
$a^2c^2+b^2d^2 \geq 2abcd$
ข้อ 14
Using CS and we are done...
ข้อ 3
Holder
ข้อ 4
โจทย์คือ
$z(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)^2=0$ ได้ z=รากที่ 6 ของ 1
ข้อ 11
$a^3+b^3\geq ab(a+b)$ ใช้ไอ้นี้ทีเดียวก็จบแล้วเพราะ
$\sum_{cyc}\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq \sum_{cyc}\frac{2}{(a+b)}$
ข้อ 1
แยกตัวร่วม...
$n^2+2n$
ข้อ 2
...5103


ข้อ 13 นิ n เป็น จำนวนนับใดๆหรือป่าวครับ?

[mathstudent2]

ข้อ 4 z คือรากที่ 6 ของ 1 ไม่ใช่หรอครับ
พี่ rose-joker

[RoSe-JoKer]

แก้ไขแล้วครับ อายจัง 55

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ข้อ 18 ตอบ 1 เพราะว่า
$a^2c^2+b^2d^2 \geq 2abcd$
ข้อ 14
Using CS and we are done...
ข้อ 3
Holder
ข้อ 4
โจทย์คือ
$z(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)^2=0$ ได้ z=รากที่ 5 ของ 1
ข้อ 11
$a^3+b^3\geq ab(a+b)$ ใช้ไอ้นี้ทีเดียวก็จบแล้วเพราะ
$\sum_{cyc}\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq \sum_{cyc}\frac{2}{(a+b)}$
ข้อ 1
แยกตัวร่วม...
$n^2+n$
ข้อ 2
...5103


ข้อ 13 นิ n เป็น จำนวนนับใดๆหรือป่าวครับ?

ข้อ 13 n เป็นจำนวนนับครับ และอยากจะบอกว่า INW มากเลยครับ d^^b
ยังเหลืออีกตั้งเยอะอะครับ ผมจะเลือกเฉพาะข้อน่าสนใจก็แล้วกัน
C3(สอวน)จงหาค่าของ $$\binom{51}{0}+\frac{1}{2}\binom{51}{1}+\frac{1}{3}\binom{51}{2}+...+\frac{1}{52}\binom{51}{51}$$
C4(สวนกุหลาบ)ในการแข่งขันกีฬาเป็นการแข่งแบบพบกันหมด ถ้ามีผู้แข่งขันทั้งหมด 6 คน คนชนะได้ 3 แต้ม คนแพ้ได้ 0 แต้ม(ไม่รู้จะเขียนมาทำไม?)ถ้าเสมอจะได้คนละ 1 แต้ม หลังจากการแข่งสิ้นสุดลงแล้วผลรวมของคะแนนทั้งหมดของผู้เข้าแข่งขันทุกคนมีค่าที่มากที่สุดต่างจากค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้เท่าไร
my comment:อืม...ผมว่าเรขาไม่มีข้อไหนน่าสนใจยกเว้นข้อสุดท้าย(G10)ที่เอามาเป็นข้อแรกของวันที่2 นั่นแหละครับ
N4(สุรนารี)จงพิสูจน์ว่า $13^n+2(27^n)$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ทุก $n$
N5(มหิดล)จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการ
$$n^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3x+3y+3z-6$$
มีคำตอบในจำนวนนับ
N6(ขอนแก่น) จงหาจำนวนนับ $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2^{n-2551}\left\Vert\,\right. n!$
N8(สวนกุหลาบ)ให้ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $m=2^k$ กำหนด
$$T_0,T_1,T_2,...,T_{n-1}$$ โดย $T_0=0,T_{i+1}=T_{i}+i+1$ โดยที่ $1\leq i\leq m-2$
จงพิสูจน์ว่า ${T_0,T_1,T_2,...,T_{n-1}}$ เป็น complete set of the residue system modulo m
N9(สวนกุหลาบ) จงหา $m,n\in\mathbb{N}$ ทั้งหมดที่ $m,n$ เป็นจำนวนคี่ และ
$$(m-n)^2=m+n$$
my comment:ผมชอบ N8 ครับ มันแปลกดี

[tatari/nightmare]

ถ้าใครเข้าค่าย สพฐ และอยากได้ full version มาขอผมได้ครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

my comment:อืม...ผมว่าเรขาไม่มีข้อไหนน่าสนใจยกเว้นข้อสุดท้าย(G10)ที่เอามาเป็นข้อแรกของวันที่2 นั่นแหละครับ

ก็คุณ tatari/nightmare INW ซะขนาดนี้โจทย์เรขาข้อไหนจะน่าสนใจหละครับ

ปล.ผมขอ version เต็มด้วยครับ

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

ก็คุณ tatari/nightmare INW ซะขนาดนี้โจทย์เรขาข้อไหนจะน่าสนใจหละครับ

ปล.ผมขอ version เต็มด้วยครับ

- -" cyclo ครับ ส่วน สำหรับ version เต็มเดี๋ยวจัดให้ครับ

[dektep]

ต้องเขียนแบบนี้ไม่ใช่เหรอครับ "psycho" :