Shortlist TMO 2009 มาแล้ว

[littledragon]

พอดีได้มาตอนลงทะเบียนเข้าพิธีปิดครับ
A8.จงหาฟังก์ชัน $f$ :$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ทั้งหมดซึ่ง
$f(m+f(n))=f(m)+n$
A4.(ข้อสอบจริง)จงหาฟังก์ชัน $f$ :$\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ทั้งหมดซึ่ง
$f(xy+2x+2y-1)=f(x)f(y)+f(y)+x-2$

ถ้าว่างๆเดี่วยจะมาลงให้ใหม่ครับ

[beginner01]

ถ้าเป็นไปได้ ข้อที่เป็นข้อสอบจริง ช่วยระบุ เลขที่ข้อกับวันที่สอบ (ก็คือเช่น ข้อ 7 วันแรก อะไรแบบนี้) ได้ไหมครับ? ขอบคุณครับ
A4 นี่ข้อสอบจริงเหรอครับ? มัน...

Solution

สลับค่า $x,y$ ในโจทย์ ได้ว่า $f(xy+2x+2y-1)=f(x)f(y)+f(x)+y-2$ แต่จากโจทย์ ได้ว่า $f(xy+2x+2y-1)=f(x)f(y)+f(y)+x-2$
$\therefore f(x)+y=f(y)+x$ แทน $y=0$ ได้ว่า $f(x)=x+f(0)$
แทนกลับในสมการโจทย์ได้ว่า
$xy+2x+2y-1+f(0)=(x+f(0))(y+f(0))+y+f(0)+x-2$
$2x+2y=(x+y)(f(0)+1)+f(0)^2-1$
$(f(0)-1)(x+y+f(0)+1)=0$ สำหรับทุก $x,y$ ที่เป็นจำนวนเต็ม
$\therefore f(0)=1$
$f(x)=x+1$
ตรวจคำตอบ (ขอละ ณ ที่นี้) ได้ว่า $f(x)=x+1$ สอดคล้องสมการดังกล่าวจริง
จบครับ

EDIT: มาแปะเพิ่มครับ
A8

Solution

ให้ $f(1)=a$
แทน $m=1$ ลงในสมการโจทย์ ได้ว่า $f(1+f(n))=a+n$
สมมติว่า $f(x)=f(y)$ สำหรับบาง $x,y$ ได้ว่า
$1+f(x)=1+f(y)$
$f(1+f(x))=f(1+f(y))$
$a+x=a+y$
$\therefore x=y$
ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
แทน $n=1$ ลงในสมการโจทย์ได้ว่า $f(m+a)=f(m)+1$
แทน $m=1$ ได้ว่า $f(a+1)=a+1$
และเราสามารถแสดงได้โดยการอุปนัยว่า $f(ka+1)=a+k$ ทุก $k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก____(*)

สมมติว่า $a\geq 2$ สังเกตว่า มีจำนวนเต็มบวกอนันต์ตัวที่ไม่อยู่ในรูป $ka+1$ (เช่น $ha$ ไม่อยู่ในรูป $ka+1$ สำหรับ $h,k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ) แต่เนื่องจาก จำนวนเต็มบวกทุกตัวที่มีค่าอย่างน้อย $a+1$ ถูกใช้ไปแล้ว (จาก(*)) และ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงได้ว่าเราต้องสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่ฝั่งโดเมนมีอนันต์ตัว ไปยังเรนจ์ที่มีจำกัดตัว จึงเกิดข้อขัดแย้ง (ตรงนี้อาจจะงงๆหน่อย ขอโทษทีนะครับ)

ดังนั้น $a=1$ และได้ว่า $f(k+1)=k+1$ ทุกจำนวนเต็มบวก $k$ นั่นคือ $f(x)=x$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $x$ ที่มีค่่าอย่างน้อย $2$
และจาก $f(1)=a=1$ ดังนั้น $f(x)=x$ ทุกจำนวนเต็มบวก $x$
ตรวจคำตอบ เห็นได้ชัดว่าฟังก็ชัน $f(x)=x$ สอดคล้องโจทย์
จบครับ

[Anonymous314]

รบกวนโพสต์ให้หมดด้วยครับ ผมเองก็อยากเห็น Shortlists TMO 2009 เสียดายที่ไม่มี ThMO แล้่ว

[owlpenguin]

เช่นกันครับๆ อยากเห็น ขอด้วยคนครับ

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ beginner01

ถ้าเป็นไปได้ ข้อที่เป็นข้อสอบจริง ช่วยระบุ เลขที่ข้อกับวันที่สอบ (ก็คือเช่น ข้อ 7 วันแรก อะไรแบบนี้) ได้ไหมครับ? ขอบคุณครับ
A4 นี่ข้อสอบจริงเหรอครับ? มัน...

Solution

สลับค่า $x,y$ ในโจทย์ ได้ว่า $f(xy+2x+2y-1)=f(x)f(y)+f(x)+y-2$ แต่จากโจทย์ ได้ว่า $f(xy+2x+2y-1)=f(x)f(y)+f(y)+x-2$
$\therefore f(x)+y=f(y)+x$ แทน $y=0$ ได้ว่า $f(x)=x+f(0)$
แทนกลับในสมการโจทย์ได้ว่า
$xy+2x+2y-1+f(0)=(x+f(0))(y+f(0))+y+f(0)+x-2$
$2x+2y=(x+y)(f(0)+1)+f(0)^2-1$
$(f(0)-1)(x+y+f(0)+1)=0$ สำหรับทุก $x,y$ ที่เป็นจำนวนเต็ม
$\therefore f(0)=1$
$f(x)=x+1$
ตรวจคำตอบ (ขอละ ณ ที่นี้) ได้ว่า $f(x)=x+1$ สอดคล้องสมการดังกล่าวจริง
จบครับ

EDIT: มาแปะเพิ่มครับ
A8

Solution

ให้ $f(1)=a$
แทน $m=1$ ลงในสมการโจทย์ ได้ว่า $f(1+f(n))=a+n$
สมมติว่า $f(x)=f(y)$ สำหรับบาง $x,y$ ได้ว่า
$1+f(x)=1+f(y)$
$f(1+f(x))=f(1+f(y))$
$a+x=a+y$
$\therefore x=y$
ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
แทน $n=1$ ลงในสมการโจทย์ได้ว่า $f(m+a)=f(m)+1$
แทน $m=1$ ได้ว่า $f(a+1)=a+1$
และเราสามารถแสดงได้โดยการอุปนัยว่า $f(ka+1)=a+k$ ทุก $k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก____(*)

สมมติว่า $a\geq 2$ สังเกตว่า มีจำนวนเต็มบวกอนันต์ตัวที่ไม่อยู่ในรูป $ka+1$ (เช่น $ha$ ไม่อยู่ในรูป $ka+1$ สำหรับ $h,k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ) แต่เนื่องจาก จำนวนเต็มบวกทุกตัวที่มีค่าอย่างน้อย $a+1$ ถูกใช้ไปแล้ว (จาก(*)) และ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงได้ว่าเราต้องสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่ฝั่งโดเมนมีอนันต์ตัว ไปยังเรนจ์ที่มีจำกัดตัว จึงเกิดข้อขัดแย้ง (ตรงนี้อาจจะงงๆหน่อย ขอโทษทีนะครับ)

ดังนั้น $a=1$ และได้ว่า $f(k+1)=k+1$ ทุกจำนวนเต็มบวก $k$ นั่นคือ $f(x)=x$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $x$ ที่มีค่่าอย่างน้อย $2$
และจาก $f(1)=a=1$ ดังนั้น $f(x)=x$ ทุกจำนวนเต็มบวก $x$
ตรวจคำตอบ เห็นได้ชัดว่าฟังก็ชัน $f(x)=x$ สอดคล้องโจทย์
จบครับ

คุณ beginner01 เก่งจังครับ แล้วเออ..คุณไม่ได้สอบเหรอครับ