มีโจทย์เพชรยอดมงกุฏ 2551 ลองทำดูครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

เรียนถามคุณหยินหยาง ทำไมต้องหาร n ด้วย 3 ครับ แล้วแนวคิด mod 7 คิดยังไงครับ

แนวคิดของผมคือ

$2^n+1 = (641)(409^2+2556^2)$ ซึ่งผมจะเอา 7 ไปหารจะได้ว่า ฝั่งขวามือจะเหลือเศษ 5 ดังนั้นจะเขียนได้ว่า
$ 2^n+1 \equiv 5 (mod 7)$
$2^n \equiv 4 (mod 7)$ จะเห็นได้ว่า $n > 2$ และ $(4,7)=1$
$\therefore 2^{n-2} \equiv 1 (mod 7)$
และเพราะว่า 3 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดซึ่ง $2^3 \equiv 1 (mod 7)$
ดังนั้น จะได้ว่า $3|n-2$

หมายเหตุเนื่องจากข้อนี้เป็นข้อสอบ ตัวเลือกจึงสามารถใช้วิธีคิดแบบนี้ได้และตัวเลือกที่ให้ก็มีเพียงตัวเดียวที่เข้าเงื่อนไขที่ว่านี้ด้วย

ปล. คุณ Scylla_Shadow นี่เล่นจำตัวเลขเลยหรือนี่ แต่อยากจะบอกว่าต้องระวังคือไม่สามารถบอกได้ว่าถ้า n เป็นตัวอื่นไม่ได้หมายความว่าจะไม่มี 641 เป็นตัวประกอบ แต่ถ้าโจทย์เปลี่ยนเป็น จงหา n ที่ $641|2^n+1$ ก็พอไหว

[~king duk kong~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ panda killer เจอต้องฆ่า

ข้อ2 ของหัวกระทู้นะครับ-

N = 1*1!+2*2!+3*3!+...+60*60!
= 2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+61!-60!

มันมายังไงอ่ะครับ งงอ่ะครับ
แล้วก็

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

แนวคิดของผมคือ

$2^n+1 = (641)(409^2+2556^2)$ ซึ่งผมจะเอา 7 ไปหารจะได้ว่า ฝั่งขวามือจะเหลือเศษ 5 ดังนั้นจะเขียนได้ว่า
$ 2^n+1 \equiv 5 (mod 7)$

เรารู้ได้ไงอ่ะครับว่า 7 ไปหารแล้วเหลือเศษ 5

[LightLucifer]

#32
- $n!(n)=n!((n+1)-1)=(n+1)!-n!$

- เคยเรียน congruence หรือยังครับ

[~king duk kong~]

เคยครับ ตอนไปสอวน. จำได้นิดหน่อยครับ

[Onasdi]

641, 409, 2556 หารด้วย 7 เหลือเศษ 4, 3, 1
ดังนั้น $641(409^2+2556^2)$ หารด้วย 7 เหลือเศษเหมือนกับ $4(3^2+1^2)=40$ ซึ่งคือ 5

[~king duk kong~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

641, 409, 2556 หารด้วย 7 เหลือเศษ 4, 3, 1
ดังนั้น $641(409^2+2556^2)$ หารด้วย 7 เหลือเศษเหมือนกับ $4(3^2+1^2)=40$ ซึ่งคือ 5

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ

[[SIL]]

ผมได้ $2^n+1 = (25^2+4^2)(409^2+2556^2)$ ไม่รู้ว่ามีประโยชน์หรือเปล่าถ้าจะหาวิธีการหาคำตอบอีกทางนึง
ปล. ใครมีหนังสือทฤษฎีจำนวนของ สอวน. อยู่กัยตัวลองเปิดๆหาดูครับ(คุ้นๆดี)

[~king duk kong~]

ขอวิธีคิดข้อ 3 หัวข้อกระทู้หน่อยครับ

[Jew]

ข้อ 3 หัวข้อกระทู้นี่หมายึงข้อ 32 ในเพชรยอดใช่ไหมครับ
ตอบก.จริง(โดย rearang inq) ข. เท็จ เพราะมันต้อง มากกว่าหรือเท่ากับ($(a^2-b^2)^2$ >หรือเท่ากับ0)

[Onasdi]

3ก. ลองแยกตัวประกอบ $a^4+b^4-a^3b-ab^3$ ดูครับ

[~king duk kong~]

ข้อ ก. เข้าใจแล้วครับ แต่ข้อ ข. ยังงงอยู่อ่ะครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~king duk kong~

ข้อ ก. เข้าใจแล้วครับ แต่ข้อ ข. ยังงงอยู่อ่ะครับ

From...
$(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)\geqslant 0$

$2a^4+2b^4+2c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\geqslant 0$

$a^4+b^4+c^4\geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2+a^2$

ดังนั้นข้อ ข. ผิด

[~king duk kong~]

ก.
$a^4 + b^4 - a^3b - ab^3>0$
$a^3(a-b) - b^3(a-b)>0$
$(a-b)^2(a^2 + ab + b^2)>0$

แล้วเรารู้ได้ไงอ่ะครับ $(a^2 + ab + b^2)>0$
เพราะ $ab\in\mathbb{I} $มันไม่ได้บอกว่าเป็นบวกอ่ะครับ

[LightLucifer]

#43

$a^2+b^2+(a+b)^2\geqslant 0$
$2a^2+2ab+2b^2\geqslant 0$
$a^2+ab+b^2\geqslant 0$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

#43

$a^2+b^2+2(a+b)^2\geqslant 0$
$2a^2+2ab+b^2\geqslant 0$
$a^2+ab+b^2\geqslant 0$

ที่ถูกต้องเป็นอย่างนี้ครับ
$\frac{1}{2} (a^2+b^2+(a+b)^2)\geqslant 0$