|
|
#1
02 มิถุนายน 2014, 15:18
|
||||
|
||||
โจทย์ตัวเลขครับ
Arrange numbers 1 to 7 in a circle, tabulate the difference between two adjacent numbers ( it must be large number minus small number ), we discover the largest sum of these seven difference is 24. Then how many ways of arrangement will be ?
( Arrangement of seven numbers in clockwise or counterclockwise or symmetry is consider as one way ) ยังคิดไม่ออกเลย ช่วยด้วยครับ  
|
|
#2
02 มิถุนายน 2014, 19:34
|
||||
|
||||
|
มี 36 วิธีครับ
โดย case ที่ทำให้เกิด maximum คือ 4 อยู่ตรงไหนก็ได้ และเมื่อนำ 4 ออก ตัวที่เหลือ 7,6,5 และ 3,2,1 ต้องเรียงสับหว่างกัน (เช่น 7,1,6,2,5,3) ซึ่งวิธีนับจำนวนวิธีก็ไม่ยากครับ (ถ้าได้ถึงตรงนี้แล้ว ลองทำต่อเองนะครับ) ส่วนที่ยากก็คือพิสูจน์ว่า กรณีที่มากที่สุดเป็นเช่นนี้ครับ สังเกต ถ้าเรียง x,y,z จะได้ผลต่างที่เกิดขึ้น คือ |x-y| และ |y-z| แบ่งได้เป็น 3 กรณี ถ้า y>x, y>z เมื่อนำผลต่างทุกตัวบวกกัน จะได้ (y-x)+(y-z)=2y-x-z (ดูเฉพาะ y) สัมประสิทธิ์หน้า y เป็น 2 ถ้า x>y>z, x<y<z จะได้ สัมประสิทธิ์หน้า y เป็น 0 ถ้า y<x, y<z จะได้ สัมประสิทธิ์หน้า y เป็น -2 ดังนั้นจึงเหมือนว่า เราใส่ตัวเลขใน {+2,0,-2} ไปข้างหน้าแต่ละตัวเลขตั้งแต่ 1-7 เพื่อให้ผลบวกมากที่สุด แต่ก็ไม่ใช่ว่าใส่ยังไงก็ได้ครับ ต่อมาจะดูการเปลี่ยนแปลงของตัวเลขในวงกลม ก็คือไล่ไปทีละตัวเลข แล้วดูว่าเพิ่มขึ้นหรือลดลง ถ้าเพิ่มขึ้นให้เป็น + ลดลงให้เป็น - เช่นตัวเลข 1 (+) 4 (-) 2 (+) 7 (-) 3 (+) 6 (-) 5 (-) 1 ถ้า ตัวเลชอยู่ระหว่าง (+) และ (-) ตัวเลขนั้นจะถูกใส่ +2 ถ้า ตัวเลชอยู่ระหว่าง (+) และ (+) หรือ (-) และ (-) ตัวเลขนั้นจะถูกใส่ 0 ถ้า ตัวเลชอยู่ระหว่าง (-) และ (+) ตัวเลขนั้นจะถูกใส่ -2 สังเกตว่า จำนวนครั้งที่ (+)->(-) เท่ากับ จำนวนครั้งที่ (-)->(+) หรือ จำนวนตัวที่ใส่ +2 เท่ากับจำนวนตัวที่ใส่ -2 นั่นเอง ซึ่งจะได้ผลต่างมากที่สุดเมื่อใส่ +2 ให้กับ 7,6,5, ใส่ 0 ให้กับ 4, ใส่ -2 ให้กับ 3,2,1
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 02 มิถุนายน 2014 19:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
|
|
#3
03 มิถุนายน 2014, 00:06
|
||||
|
||||
|
สุดยอดครับ
 ขอบคุณที่ช่วยอธิบายเหตุผลอย่างละเอียดนะครับ เรื่องการนับ ถ้าผมคิดแบบนี้ถูกไหมครับ การวาง 7 6 5 เหมือนกับ 7 5 6 เพราะตามเข็ม ทวนเข็ม ถือว่าเหมือนกัน นับเป็น 1 วิธี การวาง 1 2 3 ในช่องว่าง 3 ช่อง ทำได้ 3x2x1 วิธี การวาง 4 ในช่องว่าง 6 ช่อง ทำได้ 6 วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดเป็น 6x6 = 36 วิธี
|
|
#4
03 มิถุนายน 2014, 18:39
|
||||
|
||||
|
ใช่แล้วครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
|
|
#6
04 มิถุนายน 2014, 01:12
|
|||
|
|||
|
คำตอบทยาวๆ ทำให้ผมนึกถึงเนื้อหาที่สอนในจุฬาลงกรณ์ปีหนึ่ง เค้ากำหนดขนาดของความผิดพลาดตามนัยสำคัญไว้ให้เด็กทำโจทย์ เช่น 5 ตำแหน่ง หลังจุดทศนิยม การพิสูจน์เป็นระบบดีครับ ยิ่งผูกปมองค์ความรู้มากเท่าใด ยิ่งเข้าใกล้สิ่งที่เด็กโอลิมปิกใช้สอบกัน
ความฝัน >= ความจริง ทิศทางนี้ดูเหมือนเป็นไปได้ ละครับผม
|
  |
|
|
