[Singapore 2011] Algebra 1

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

Find all such $P\in\mathbb{R}[X]$ such that the following holds :
\[ P(a)\in\mathbb{Z}\implies a\in \mathbb{Z} \]

[Thgx0312555]

This implies that $|P(x+1)-P(x)| \le 1$ for all $x \in \mathbb{Z}$

แต่เนื่องจาก $P(x+1)-P(x)$ เป็นพหุนาม; ถ้าไม่ใช่พหุนามคงตัวจะลู่ออก

ดังนั้น $P(x+1)-P(x)=m$ แก้ต่อได้ไม่ยากจะได้ $P(x)=mx+c$

เมื่อมาเช็ค If $P(x) \in \mathbb{Z}$ then $x = \dfrac{P(x)-c}{m} \in \mathbb{Z}$

จะพบว่าพหุนามทั้งหมดคือ $P(x) =\dfrac{x}{n}+c$ or $P(x)=c$ when $c,n \in \mathbb{Z}$