มีโจทย์อินทิเกรตมาฝากครับ

[gnopy]

$\int_0^1(1+2008x^{2008})e^{x^{2008}}dx$

[nooonuii]

ตอบ $e$ ครับ ผมใช้วิธีกระจายอนุกรมเทเลอร์ เดี๋ยวมาเฉลยให้ครับ ต้องไปมหาลัยแล้ว

[gnopy]

พี่ noonuii ตอบถูกแล้วครับ ผมมีวิธีอีกวิธีนะ รอพี่มาเฉลยวิธีทำของพี่ก่อน แล้วผมค่อยลงอีกวิธีนึงครับ

[nooonuii]

ให้ $x,t>0$ นิยาม $$f(x,t)=(1+tx^t)e^{x^t}$$
จะได้ว่า

$\displaystyle{f(x,t)=(1+tx^t)\Big(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{nt}}{n!}\Big)}$

$\displaystyle{\quad\quad\quad =\sum_{n=0}^{\infty}\Big(\frac{nt+1}{n!}\Big)x^{nt}}$

ดังนั้น

$\displaystyle{\int_0^1f(x,t)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1\Big(\frac{nt+1}{n!}\Big)x^{nt}dx}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad =\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad=e$

[V.Rattanapon]

เนื่องจาก \[
\frac{d}{{dx}}\left( {xe^{x^{2008} } } \right) = e^{x^{2008} } + 2008x^{2008} e^{x^{2008} }
\]
ดังนั้น \[
\int\limits_0^1 {\left( {1 + 2008x^{2008} } \right)e^{x^{2008} } dx = \int\limits_0^1 {\left( {e^{x^{2008} } + 2008x^{2008} e^{x^{2008} } } \right)} } dx = \left[ {xe^{x^{2008} } } \right]_0^1 = e
\]

[gnopy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ V.Rattanapon

เนื่องจาก \[
\frac{d}{{dx}}\left( {xe^{x^{2008} } } \right) = e^{x^{2008} } + 2008x^{2008} e^{x^{2008} }
\]
ดังนั้น \[
\int\limits_0^1 {\left( {1 + 2008x^{2008} } \right)e^{x^{2008} } dx = \int\limits_0^1 {\left( {e^{x^{2008} } + 2008x^{2008} e^{x^{2008} } } \right)} } dx = \left[ {xe^{x^{2008} } } \right]_0^1 = e
\]

อืมวิธีผมก็แบบนี้แหละครับ