(ε, δ) limit-definition

[t.B.]

คือผมสงสัยนิยามลิมิตแบบเดลต้าแอปซิลอน อะครับ ว่า มันน่าจะมีข้อผิดพลาด

เพราะว่า ทุกครั้งที่เลือก เดลต้า หรือแอ๊บซิลอน มันจะมีช่วงที่อยู่รอบๆค่าลิมิต y=L และ ค่า x=a ที่ทำให้เกิด

ตามอสมการในนิยาม

นั้นคือ ถ้าผลลัพท์ L ,a ที่เราใส่เข้าไปมันผิด แต่ว่ามันยังอยู่ในช่วงที่เรากำหนดเดลต้ากับแอปซิลอนไป

เช่น Lจริงๆ=5 แต่เราใช้ L=5.1 โดยช่วงแอปซิลอนที่เลือกมันคือ 4.8-5.2 อะไรแบบนี้อะครับ

มันก็จะไม่กลายเป็นถูกไปหรือครับ

พอจะเข้าใจคำถามไหมครับ ผมอาจจะเรียบเรียงคำพูดได้ไม่ดี และผมก็ยังหากรณีที่ขัดแย้งไม่ได้ แต่ก็ยังสงสัยอยู่ดี

ผมเข้าใจผิดยังไงช่วยอธิบายทีครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

คือผมสงสัยนิยามลิมิตแบบเดลต้าแอปซิลอน อะครับ ว่า มันน่าจะมีข้อผิดพลาด

เพราะว่า ทุกครั้งที่เลือก เดลต้า หรือแอ๊บซิลอน มันจะมีช่วงที่อยู่รอบๆค่าลิมิต y=L และ ค่า x=a ที่ทำให้เกิด

ตามอสมการในนิยาม

นั้นคือ ถ้าผลลัพท์ L ,a ที่เราใส่เข้าไปมันผิด แต่ว่ามันยังอยู่ในช่วงที่เรากำหนดเดลต้ากับแอปซิลอนไป

เช่น Lจริงๆ=5 แต่เราใช้ L=5.1 โดยช่วงแอปซิลอนที่เลือกมันคือ 4.8-5.2 อะไรแบบนี้อะครับ

มันก็จะไม่กลายเป็นถูกไปหรือครับ

พอจะเข้าใจคำถามไหมครับ ผมอาจจะเรียบเรียงคำพูดได้ไม่ดี และผมก็ยังหากรณีที่ขัดแย้งไม่ได้ แต่ก็ยังสงสัยอยู่ดี

ทุกครั้งที่เลือก เดลต้า หรือแอ๊บซิลอน มันจะมีช่วงที่อยู่รอบๆค่าลิมิต y=L และ ค่า x=a ที่ทำให้เกิด

ตามอสมการในนิยาม



อันนี้ต้องระวังเรื่อง logic ของนิยามนี้มากๆครับ เป็นเรื่องหนึ่งที่อธิบายกันยังไงก็ไม่เข้าใจจนกว่าจะมีประสบการณ์ในการทำโจทย์มากพอ

นืยามของลิมิตคือ

$\lim_{x\to a}f(x)=L$ ก็ต่ือเมื่อ สำหรับทุก $\epsilon > 0$ จะมี $\delta > 0$ (ซึ่งขึ้นอยู่กับ $\epsilon$) ซึ่งเมื่อไรก็ตามที่ $0<|x-a|<\delta$ แล้ว $|f(x)-L|<\epsilon$

จากนิยามจะเห็นว่า $\epsilon$ ต้องเกิดก่อน แล้วถึงจะมี $\delta$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ $\epsilon$ ตามมา

แล้วทำให้เงื่อนไขอสมการเป็นจริง

เราไม่สามารถกำหนด $\delta$ กับ $\epsilon$ พร้อมกันครับ

เวลาพิสูจน์เราต้องเริ่มจากการกำหนด $\epsilon > 0$ เสมอ

จากนั้นค่อยหา $\delta > 0$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ $\epsilon$ และทำให้อสมการเป็นจริง

ตัวอย่าง $\displaystyle{\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=2}$

ทด ให้ $\epsilon > 0$ ต่อไปจะหา $\delta > 0$ ซึ่งเมื่อ $0<|x-1|<\delta$ แล้ว $|\dfrac{x^2-1}{x-1}-2|<\epsilon$

$|\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}-2|<\epsilon$

$|x+1-2|<\epsilon$

$|x-1|<\epsilon$

เนื่องจากอสมการ

$|\dfrac{x^2-1}{x-1}-2|<\epsilon$

สมมูลกับอสมการ

$|x-1|<\epsilon$

จะเห็นว่าถ้าเราเลือก $\delta=\epsilon$ จะทำให้ได้ว่า้งื่อนไขทุกอย่างเป็นจริง
---------------------------------------------------------------
พิสูจน์ ให้ $\epsilon > 0$ เลือก $\delta = \epsilon$

จึงได้ว่า ถ้า $0<|x-1|<\delta$ แล้ว

$|\dfrac{x^2-1}{x-1}-2|=|\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}-2|$

$~~~~~~~~~~~~~~~~=|(x+1)-2|$

$~~~~~~~~~~~~~~~~=|x-1|$

$~~~~~~~~~~~~~~~~<\delta$

$~~~~~~~~~~~~~~~~=\epsilon$

ตามต้องการ

[t.B.]

โจทย์ของพี่ nooonuii ถ้าเลือก $\delta <\epsilon $ ก็ยังได้อยู่ใช่รึเปล่าครับ

เรื่องที่ถามตอนแรก ผมเริ่มเข้าใจว่า มันต้องเป็นจริงทุก $\epsilon $(ไม่ว่าจะกว้างใหญ่ขนาดไหน) แต่ $\delta $ นั้นเป็นจริงบางตัวก็พอแล้วใช่ไหมครับ

เพิ่มคำถามอีกนิดนะครับ(check ความเข้าใจ)

ในนิยาม $x\not= a$(เพราะว่าถ้า x=a แล้วอสมการจะกลายเป็น 0<0<$\delta $ ซึ่งผิดตรง 0<0) ซึ่ง แค่เข้าใกล้

แต่ f(x)=a ได้ ถูกรึเปล่าครับ (เพราะว่า ตรง |f(x)-L| ไม่มี 0<... เหมือนของ $\delta $)

ปล.นักคณิตศาสตร์นี่เวลากำหนดนิยามนี่ช่างรอบคอบจริงๆครับ

[nooonuii]

โจทย์ของพี่ nooonuii ถ้าเลือก $\delta <\epsilon $ ก็ยังได้อยู่ใช่รึเปล่าครับ

ใช่ครับ

เรื่องที่ถามตอนแรก ผมเริ่มเข้าใจว่า มันต้องเป็นจริงทุก $\epsilon $(ไม่ว่าจะกว้างใหญ่ขนาดไหน) แต่ $\delta $ นั้นเป็นจริงบางตัวก็พอแล้วใช่ไหมครับ

ใช่ครับ

เพิ่มคำถามอีกนิดนะครับ(check ความเข้าใจ)

ในนิยาม $x\not= a$(เพราะว่าถ้า x=a แล้วอสมการจะกลายเป็น 0<0<$\delta $ ซึ่งผิดตรง 0<0) ซึ่ง แค่เข้าใกล้

แต่ f(x)=a ได้ ถูกรึเปล่าครับ (เพราะว่า ตรง |f(x)-L| ไม่มี 0<... เหมือนของ $\delta $)

หมายถึง $f(x)=L$ ได้ใช่มั้ยครับ ที่ไม่รวม $a$ เพราะว่าเรามองลิมิตเป็นพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้ๆจุด $a$ สำหรับที่จุด $a$ เราคงไม่ต้องไปสนใจมากเพราะยังไงตัวฟังก์ชันก็บอกค่าของ $f(a)$ ไว้แล้ว หรือไม่ก็อาจจะไม่นิยามที่จุด $a$