Problems for Mathcenter Contest Round 1/2009

[nongtum]

คำชี้แจงและข้อตกลง (คลิกเพื่ออ่าน)

โจทย์ในรอบนี้ เรียงข้อตามลำดับคะแนน บางข้อโพสต์ตามที่ผู้ออกโจทย์เสนอโดยไม่ได้แปลเป็นภาษาไทย
โปรดศึกษากติกาและวิธีการตอบให้เข้าใจในกระทู้กฎ กติกา มารยาท ก่อนตอบหรือตั้งคำถามด้วยครับ

หากมีข้อสงสัยหรือเสนอแนะเกี่ยวกับโจทย์และการส่งคำตอบ สามารถถามได้ในกระทู้นี้จนถึงเวลา 22:30 น. วันศุกร์ที่ 15 พฤษภาคม 2552 เท่านั้น
และจะไม่รับการถามทางข้อความส่วนตัว
เจ้าของโจทย์ สามารถมาช่วยตอบข้อสงสัยได้ตามสมควร โดยไม่ต้องรอให้ผู้ดูแลเป็นผู้ตอบ แต่ห้ามใบ้หรือชี้แนะวิธีทำเด็ดขาดไม่ว่าจะโดยวิธีใดก็ตาม

หมดเวลาส่งคำตอบ: ขยายจากเดิมเป็นวันจันทร์ที่ 15 มิถุนายน 2552 เวลา 22:30 น.

โอลิมปิก

คะแนนเต็มสูงสุด 28 คะแนน

1. (5 คะแนน) ให้ $m,n$ เป็นจำนวนนับ จงพิสูจน์ว่า $$m^{m^{m^m}}+n^{n^{n^n}}\geq m^{n^{n^n}}+n^{m^{m^m}}$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

2. (5 คะแนน) Find the locus of points $P$ in the plane of a square $ABCD$ such that $$\max\{ PA,\ PC\}=\frac12(PB+PD).$$
(เสนอโดยคุณ Anonymous314)

3. (5 คะแนน) Prove that for each $k$ points in the plane, no three collinear and having integral distances from each other. If we have an infinite set of points with integral distances from each other, then all points are colinear.
(เสนอโดยคุณ Anonymous314)

4. (6 คะแนน) Let $x,y,z\in \mathbb{R}^+_0$ such that $xy+yz+zx=1$. Prove that $$\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{y+z}}+\frac{1}{\sqrt{z+x}}\ge 2+\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
(เสนอโดยคุณ Anonymous314)

5. (7 คะแนน) For $n\in\mathbb{N}$, prove that $2^n$ can begin with any sequence of digits.
Hint: $\log 2$ is irrational number.
(เสนอโดยคุณ Anonymous314)

ประถมศึกษา

คะแนนเต็มสูงสุด 14 คะแนน

1. (3 คะแนน) จงหาค่าของ $$(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (736^3-2)(737^3-1)(738^3-0)$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

2. (5 คะแนน) กำหนดลำดับ 1,1,1,3,3,3,5,6,7,a,b,c,9,15,21,11,21,31,...
จงหาค่าของ a-2b+c
(เสนอโดยคุณ [SIL])

3. (3+3 คะแนน) เด็ก 25 คนกำลังวิ่งเล่นอยู่นอกบ้าทนหลังหนึ่งซึ่งมีประตู 52 บานอยู่รอบบ้าน พอประตูทั้งหมดเปิดเด็กทั้งหมดก็เข้าๆออกๆบ้านไปเล่น
ถ้านับจำนวนครั้งที่เด็กเข้าและออกบ้านได้ 2552 ครั้ง แต่ไม่รู้ว่าแต่ล่ะคนเข้าและออกกี่ครั้ง แล้วปิดประตูทั้งหมด
1. จะเป็นไปได้หรือไม่ที่มีเด็ก 25 คน อยู่นอกบ้านและ ไม่มีเด็กอยู่ในบ้าน
2. จะเป็นไปได้หรือไม่ที่มีเด็ก 25 คน อยู่ในบ้าน และไม่มีเด็กอยู่นอกบ้าน
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

มัธยมต้น

คะแนนเต็มสูงสุด 22 คะแนน

1. (4 คะแนน)จากรูป $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ $AE=EC$ และ $DC=2BD$ จงหาอัตราส่วนของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม $EFDC$ ต่อพื้นที่สามเหลี่ยม $BFD$

(เสนอโดยคุณ Mercedesbenz)

2. (4 คะแนน) มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่เป็นตัวประกอบของของ $(1)(2009)+(2)(2010)+(3)(2011)+\dots+(543)(2551)$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

3. (4 คะแนน) รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีคุณสมบัติว่า
ถ้าความกว้างเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 75% ถ้าความยาวเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 50% แต่ถ้าความสูงเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 25%
จงหาพื้นที่ผิวของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

4. (5 คะแนน) จงหาคำตอบทั้งหมดที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ $\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x+3}=4$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

5. (5 คะแนน) จงหาค่าของ $\frac{-xy}{z}$ จากสมการ $$(5x^2+15x+25)(6y^2+8y+4)(5z^2+2z+2) = 33$$
(เสนอโดยคุณ [SIL])

มัธยมปลาย

คะแนนเต็มสูงสุด 25 คะแนน

1. (3 คะแนน) จงแสดงว่า $2^n$ ไม่ลงท้ายด้วย $2552$ ทุกจำนวนนับ $n$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

2. (4 คะแนน) จงหาจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $$\sqrt[4]{2-\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}+\sqrt[4]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}=\sqrt{2}$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

3. (4 คะแนน) กำหนดให้ $A$ เป็นเซตที่เล็กที่สุดที่ซึ่ง $\{\{1,2\},\{3\}\}\in A\cap P(A)$ และ $\{\{1,\{2\},\{3\}\}\}\subset A\cap P(A)$
จงหาจำนวนคู่อันดับ $(a,b)$ โดยที่ $a,b\in A$ และ $a\not= b$ และมีคุณสมบัติว่า $a\in b$ หรือ $a\subset b$
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

4. (4 คะแนน) กำหนดลำดับ 1,3,5,3,5,7,5,7,9,... จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต 696 พจน์แรกของลำดับนี้
(เสนอโดยคุณ [SIL])

5. (5 คะแนน) กำหนดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC และจุด D, E, F บนส่วนของเส้นตรง BC, AB และ AD ตามลำดับ
โดยที่ $CD = \frac{1}{3}BC$ , $BE = \frac{1}{3}AE$ และ $AF = \frac{1}{3}AD$
จงหาความยาวด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยม DEF ในเทอมของ AB
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

6. (5 คะแนน) จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $$\sin{A},\sin{2A},...,\sin{nA}$$ เป็นลำดับเลขคณิต สำหรับบางจำนวนจริง $A\in (0,\pi)$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

ขอให้สนุกกับการแก้โจทย์ปัญหาครับ

[[SIL]]

โอว้ มาแล้วๆ รอตั้งนานหุหุ
ปล. อยากทราบเหตุผลที่ว่าทำไมขยายเวลารับคำตอบออกไปตั้งครึ่งปีล่ะครับ

[LightLucifer]

ครั้งนี้ขอด้วยนะครับ ^^

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

อยากทราบเหตุผลที่ว่าทำไมขยายเวลารับคำตอบออกไปตั้งครึ่งปีล่ะครับ

ผมไม่ได้ขยายเวลารับคำตอบไปถึงเดือนธันวานะครับ บังเอิญพิมพ์ผิดแล้วแก้ไขช้าไปหน่อย ขออภัยครับ
deadline คือ 15 มิถุนานะครับ เพราะบังเอิญผมอาจไม่ได้ใช้อินเทอร์เนตวันที่ 11-14 มิถุนา ก็เท่านั้นล่ะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ครั้งนี้ขอด้วยนะครับ ^^

ขออะไรเอ่ย...

[LightLucifer]

ขอเข้าร่วมแข่งด้วยครับ ^^

[Platootod]

โจทย์ของผมไม่ผ่านเหรอเนี่ย

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

2. (5 คะแนน) Find the locus of points $P$ in the plane of a square $ABCD$ such that $$\max\{ PA,\ PC=\frac12(PB+PD)\}.$$
(เสนอโดยคุณ Anonymous314)

$\max\{ PA,\ PC=\frac12(PB+PD)\}.$??

[Platootod]

ถ้าเด็กมต้นไปทำของประถมได้แมะครับ

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

3. (5 คะแนน) Prove that for each $k$ points in the plane, no three collinear and having integral distances from each other. If we have an infinite set of points with integral distances from each other, then all points are colinear.
(เสนอโดยคุณ Anonymous314)

ลืมบอกไปครับว่าข้อ 2. ที่ดูแปลกๆ อยู่ในส่วนโอลิมปิก

1. งงภาษา ข้อ 3 ครับ ตอนแรกบอกว่า "for each $k$ points in the plane, no three collinear" แต่ให้พิสูจน์ว่า "all points are collinear" ??
งงครับ

2. ขอความหมายข้อ 5 ด้วยครับ

3. ข้อ 6 มัธยมปลายครับ

6. (5 คะแนน) จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $$\sin{A},\sin{2A},...,\sin{nA}$$ เป็นลำดับเลขคณิต สำหรับบางจำนวนจริง $A\in (0,\pi)$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

$\sin{A},\sin{2A},...,\sin{nA}$ ที่บอกว่าเป็นลำดับเลขคณิต นี่หมายถึงว่า $a_i=\sin{iA}$ เป็นลำดับเลขคณิต หรือว่า เรียงลำดับ $\sin{A},\sin{2A},...,\sin{nA}$ ยังไงก็ได้ครับ?

[nongtum]

ขอตอบโดยไม่ quote นะครับ

#5 ยินดีครับ

#6 กรุณาเช็ค pm ครับ (อย่าใจร้อนครับ ผมอาจมาตอบช้าหน่อย แต่ก็จะพยายามตอบเท่าที่ตอบได้ครับ)

#7 ตอนพิมพ์โจทย์ใหม่จากไฟล์ภาพของคุณ Anonymous314 ผมวางวงเล็บปีกกาผิดที่เองล่ะครับ ดูโจทย์ที่แก้แล้วด้านบนได้ครับ

#8 ทำได้ครับ แต่ห้ามใช้ความรู้เกินในระดับประถมนะ ไม่งั้นอาจโดนหักคะแนนวิธีทำได้ (คำตอบของคำถามนี้ ที่จริงมีอยู่ในกระทู้กฎ กติกาฯนะครับ)

#9 จะพยายามตอบทีละประเด็น โดยไม่ quote ข้อความด้านบนนะครับ แต่ถ้าอ่านแล้วยังไม่เคลียร์ ถามซ้ำเพื่อขอให้ผมหรือคนเสนอโจทย์มาชี้แจงเพิ่มเติมได้ครับ

1. ข้อ 2 แก้แล้วครับ
ข้อ 3 ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด ประเด็นมันอยู่ที่ infinite set of points with integral distances ที่ทำให้เงื่อนไขที่พิลึกๆและดูขัดกันเองกลายเป็นจริงครับ
(ถ้ายังไม่เข้าใจ ถามมาได้อีกทีครับ)

2. ที่จริงโจทย์ข้อนี้บอกความหมาย ก็จะเป็นการใบ้ไปในตัว แต่เห็นว่าโจทย์ข้อนี้(ค่อนข้าง)โหด ผมจะลองชี้แจงดูละกันครับ
ลำดับเลขในที่นี้ คือ ลำดับเลขโดดที่อ่านได้ เมื่อเริ่มอ่านจากหลักที่มีค่ามากที่สุดไปยังหลักที่น้อยกว่า โดยไม่จำเป็นต้องอ่านถึงหลักหน่วย
เช่น ลำดับเลขจาก 8192=2¹³ ที่เป็นไปได้ คือ 8 หรือ 8,1 หรือ 8,1,9 หรือ 8,1,9,2 ครับ
ถ้าว่าตามโจทย์ เราก็จะมี n=13 ที่มีลำดับด้านบนดังกล่าวปรากฎอยู่ในจำนวนในรูป 2ⁿ (ซึ่งอาจจะมี n ตัวอื่นที่สอดคล้องอีกก็ได้)
กล่าวคือ โจทย์บอกว่า ไม่ว่าลำดับเลขโดดจะมั่วหรือยาวแค่ไหน ยังไงๆก็หา n ที่ทำให้เมื่อเขียน 2ⁿ แล้ว จะต้องเริ่มเขียนด้วยตัวเลขในลำดับที่กำหนดมาครับ
... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ

3. ลำดับเรียงตาม n โดยไม่มีการเรียงสับเปลี่ยนของสมาชิกภายในลำดับครับ
โจทย์ถามหาจำนวนนับ n ที่เป็นไปได้ ภายใต้เงื่อนไขของ A ซึ่งเป็นอะไรก็ได้ในช่วงที่กำหนดครับ

[beginner01]

ขอบคุณ คุณ nongtum ที่ไขกระจ่างครับ

[RoSe-JoKer]

ขอไซโคหน่อยนะครับ - -"
อสมการข้อ 4 โอลิมปิคแมร่งโคตรยาก -*-

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ขอไซโคหน่อยนะครับ - -"
อสมการข้อ 4 โอลิมปิคแมร่งโคตรยาก -*-

ร่วมไซโคด้วยคนครับ โหดจริงๆ
ว่าแต่มีใครจะส่งวิธีทำโจทย์ระดับโอฯ บ้างครับ?

[LightLucifer]

ม.ต้น ใช้เครื่องหมาย $\sum$ เพื่อความสดวกได้ไหมครับ
(แบบในประกายกุหลาบ)

[nongtum]

#14 ใช้ได้ครับ

ขอชี้แจงย้ำเพิ่มอีกนิดว่า อยากให้ถามข้อสงสัยเกี่ยวกับโจทย์ในกระทู้นี้เท่านั้นครับ เพื่อไม่ให้เกิดการได้เปรียบเสียเปรียบกัน และผู้ดูแลไม่เสียเวลาตอบคำถามเดียวกันซ้ำๆครับ หากถามมาทาง pm ผมก็จะปัดให้มาถามหรือตอบในกระทู้นี้ หรืออาจจะไม่ตอบให้เลยล่ะครับ

ส่วนข้อ 3 ที่คุณ beginner01 ขอให้ช่วยแปลมา ก็แปลได้ดังนี้ครับ (หวังว่าจะแปลแล้วความไม่หาย)

3. จงแสดงว่า สำหรับจุด $k$ จุดใดๆบนระนาบ ที่สามจุดใดๆในนั้นไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และจุดคู่ใดๆมีระยะห่างระหว่างกันเป็นจำนวนเต็ม ถ้าเรามีเซตอนันต์ของจุดที่มีระยะห่างระหว่างกันเป็นจำนวนเต็ม จุดทั้งหมดจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน