ตัวคูณลากรานจ์

[M@gpie]

ข้อนี้ครับ ลองทำกันดูแล้ว
จะพบความหฤโหดมาก
ผมลองคิดได้เต็มที่คือ
r=3 อย่างเดียว h กับ H ทำต่อไม่ออก(ถึกเกิน)
ใครคิดได้ช่วยหน่อยครับ

[M@gpie]

งง กับภาพนิดหน่อย นั่งแก้ไปหลายครั้งเลย รูปภาพกับโจทย์คับ

[M@gpie]

มะมีคนลองคิดเลยหรอคร้าบบบ

[warut]

ผมเพิ่งจะเสร็จจากการพิมพ์ข้ออื่นๆก็เลยเพิ่งจะได้มาทำ ยอมรับครับว่าหฤโหดสุดๆ
อย่างที่ไม่เคยเจอมาก่อน วิธีทำของผมเป็นดังนี้ครับ

เนื่องจากปริมาตรคือ pr²(H + h/3)
เพื่อหาปริมาตรสูงสุดเราจึงสามารถทำได้โดยการหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
f(r, h, H) = r²h + 3r²H

ส่วนพื้นที่ผิวคือ pr(2H + ึr² + h²) = 500ึ5p
simplify สมการพื้นที่ผิวโดยการกำจัดเครื่องหมาย ึ แล้วเปลี่ยนให้อยู่ในรูปของ
สมการโพลิโนเมียล เราจะได้ฟังก์ชันเงื่อนไข g(r, h, H) =
(1) r⁴ + r²h² - 4r²H² + arH - a²/16 = 0
โดยที่ a = 2000ึ5

จาก ถf/ถh = lถg/ถh จะได้ว่า r² = 2lhr² ดังนั้น l = 1/(2h)

จาก ถf/ถH = lถg/ถH จะได้ว่า 3r² = l(ar - 8r²H)
แทนค่า l = 1/(2h) แล้ว simplify จะได้ a/r = 6h + 8H

จาก ถf/ถr = lถg/ถr จะได้ว่า 2rh + 6rH = l(4r³ + 2rh² - 8rH² + aH)
แทนค่า l = 1/(2h) แล้ว simplify จะได้
(2) 4r³ - 2rh² -8rH² - 12rhH + aH = 0

หาค่าของ (1/r)(2) - (4/r²)(1) จะได้
-6h² + 8H² - 12hH - 3aH/r + a²/(4r²) = 0
แทนค่า a/r = 6h + 8H จะได้ว่า 3h(h - 2H) = 0

ดังนั้น h = 0 หรือ h = 2H
ถ้า h = 0 จะทำให้ l = 1/(2h) หาค่าไม่ได้
ดังนั้น h = 2H
และ a/r = 6h + 8H = 20H

เอา a²/r³ คูณสมการ (2) จะได้
4a² - (2h² + 8H² + 12hH)(a/r)² + H(a/r)³ = 0
แทนค่า h = 2H และ a/r = 20H จะได้ 4a² - 8000H⁴ = 0
ดังนั้น H = 10, h = 2H = 20, r = a/(20H) = 10ึ5
ส่วนปริมาตรสูงสุดก็คือ 25000p/3

[gon]

อ้า. คุณ warut ตอบก่อนซะแล้ว
ข้อนี้ในตอนแรกดูเหมือนว่าจะใช้พลัง แต่หลังจากเพ่งดี ๆใจเย็นสักนิด ก็จะพบเส้นทางออกสู่อวกาศครับ.

เสนออีกวิธีหนึ่งก็แล้วกัน

ให้ f(h, H, r) = pr²H + (1/3)pr²h
g(h, H, r) = 2prH + pr(r² + h²)^1/2 = 500ึ5p
จะได้ว่า
ัf(h, H, r) = (pr²/3, pr², 2prH + (2/3)prh)
ัg(h, H, r) = (prh/(r²+h²)^1/2, 2pr, 2pH + pr²/(r²+h²)^1/2 + p(r²+h²)^1/2 )

โดยลากรองจ์ : จะมี ัf(h, H, r) = lg(h, H, r)
\ l = r(r²+h²)^1/2/3h = r/2 = 2r(3H + h)/ [ 3(2H + r²/(r²+h²)^1/2 + (r²+h²)^1/2 ]

จับคู่แรกเท่ากัน : และใช้เงื่อนไข 2rH + r(r²+h²)^1/2 = 500 จะได้ว่า h = 2r/ึ5 (ดังนั้น (r²+h²)^1/2 = 3r/ึ5)

จับ คู่ที่ 2 ที่เชื่อมต่อกันมาเท่ากันจะได้ว่า H = r/ึ5

แทน r, h, H ในเทอมของ r ลงไปในเงื่อนไขพื้นที่ผิวจะได้ว่า r = 10ึ5, h = 20, H = 10 confirm กับคุณ warut

Note ถ้าให้ A แทน พื้นที่ผิวใด ๆ ตามแบบเงื่อนไขของโจทย์ ก็จะได้ว่า h = 2r/ึ5, H = r/ึ5 ยังคงเป็นจริงเสมอ
ดังนั้น ปริมาตรที่มากที่สุดจะคือ V = (A/3)(A/ึ5p)^1/2

[M@gpie]

โจทย์นี้เป็นข้อสอบแคลคูลัส3 ปลายภาค คณะวิศวะครับ ซึ่งหาคนคิดได้แทบไม่มี เพราะหฤโหดมากๆ

[warut]

แหะๆ...ถ้ารู้ว่าคุณ gon จะมาทำข้อนี้ให้ ผมคงไม่ต้องเสียแรงและค่าโง่อย่างนี้
ผมสังหรณ์ใจอยู่เหมือนกันว่าถ้าใช้ฟังก์ชัน g ในรูปแบบอื่นที่ต่างจากที่ผมใช้จะ
ง่ายกว่ามั้ย แต่เนื่องจากแค่แบบเดียวนี่ก็ไม่ไหวแล้ว ก็เลยมิได้ลองดูน่ะครับ

[gon]

ตอบกันหลากหลายวิธีผมว่าดีแล้วครับ. ตอนนี้ที่ผมสนใจเล็กน้อยว่าง ๆ จะคิดต่อว่าจะเอา อสมการใช้แก้ปัญหาข้อนี้ได้อย่างไร ?

[ohm121]

ผมลองแก้ออกมาแล้วมันติดลบครับ แก้ยังไงอะ