โจทย์จากหนังสือพีชคณิตคิดเพื่อชาติ

[Slurpee]

กำหนด $a,b,c,d$ และ $e$ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งทำให้ $x^5-9x-27=(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)$ ค่าของ $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$ เป็นเท่าใด

คือผมดูเฉลยแล้วก็ยังงงครับ รบกวนท่านผู้รู้ด้วยครับ

[-InnoXenT-]

คูณกระจายเข้าไป แล้วเทียบ ส.ป.ส. ก็น่าจะคิดออกแล้วมั้งครับ =_=" ยังไม่ได้ลองทำ

[poper]

ลองแล้วได้แบบนี้
$a+c=0$---(1)
$ac+b+d=0$---(2)
$ad+bc+e=0$---(3)
$ae+bd=-9$---(4)
$be=-27$---(5)
แต่ยังคิดไม่ออกครับ

[Slurpee]

ผมไปต่อไม่ได้ครับ

[gon]

นำ $x^5-9x-27$ ตั้งหารยาวด้วย $x^2+ax+b$ จะได้ผลลัพธ์เป็น $x^3-ax^2+(a^2-b)x+(2ab-a^3)$ และเศษคือ $(a^4-3a^2b+b^2-9)x + (-27-2ab^2+a^3b)$

แสดงว่า $2ab^2-a^3b=-27$ และ $a^4-3a^2b+b^2=9$

จากสมการ $2ab^2-a^3b=-27$ จะได้ $ab(a^2-2b) = 27$

ชัดเจนว่า a, b ไม่เป็นศูนย์ และเนื่องจาก a, b เป็นจำนวนเต็ม แสดงว่า a, b จะต้องเป็นตัวประกอบของ 27 คือ $\pm1, \pm3, \pm9, \pm27$

กรณีที่ 1. ถ้า a = b จะได้ว่า a = b = 3 เท่านั้นที่เป็นคำตอบซึ่งสอดคล้องระบบสมการทั้งสอง ดังนั้น $c = -a = -3, d = a^2-b = 6, e = 2ab - a^3 = -9$

นั่นคือ $x^5-9x-27 = (x^2+3x+3)(x^3-3x^2+6x-9)$

กรณีที่ 2, ถ้า $a \ne b$ จะพบว่าไม่มีคู่ใดที่สอดคล้องสมการ

[Slurpee]

ขอบคุณมากครับ

[กิตติพงศ์]

ผมดูแล้วไม่เข้าใจช่วยสอนใหม่ได้ไหมครับ

[kongp]

เหมือนแก้ปริศนาละครับ หากผุ้แต่งโจทย์ออกแบบมาดีก็มีคำตอบเป็นขั้นเป็นตอน แต่อีตอนเจอปัญหาจริงนี่สิ ยังยากอยู่ดี