[มาราธอน]TMC#1-M.4 สอบ 27 มี.ค. 54

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ XCapTaiNX

รู้สึกจะมี a,b เยอะมากเลยครับ
หรือว่าผมคิดผิดเอง

ใช่ครับ เยอะมากจนนับไม่ได้

ลองตอบในรูปแบบเงื่อนไข(หรืออะไรเนี่ยละ เรียกไม่ถูก 55+)

สำหรับข้อฟังก์ชัน ลองดู

จาก $2x=f(x)-f(x-1)=na_nx^{n-1}+...+c_0$ และ $a_n\not= 0$ จะได้...

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

$n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(2(n+2)-3)$

ขอบคุณพี่ไลค์ ครับ คือจะขอ hint ข้อฟังก์ัชัน แต่เหนมันเปน พหุนาม ก้เลยพูดพหุนาม 55

รบกวนพี่ไลค์ ไปเคลียข้อนี้ที่ให้ไว้หน่อยได้มั้ยครับ ?

ยังติดอยู่เลยครับ http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=7186&page=3

[SolitudE]

กระทู้เงียบตั้งแต่ 11 มีนา

สอบ 27 มีนา ตอนนี้เหลืออีก 2 สัปดาห์

มีใครอยากปลุกมันบ้างไหมครับ

(ข้อที่เหลือในกระทู้นี้ก็ลง hint มาบ้างก็ดี เพราะของผมบอกไปหมดแล้ว)

[-Math-Sci-]

ผมว่าโจทย์ค้าง เกิน 1 วัน เจ้าของคำถามมาเฉลยดีกว่ามั๊ยครับ ?

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

ขอโพสต์โจทย์ไว้อีกข้อก่อนนอน เปลี่ยนแนวก่อนจะเบื่อพวกเรขาคณิต

กำหนดให้ $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ สอดคล้องกับ $f(x)-f(x-1)=2x$ และ $f(1)=3$ จงหา $f(x)$

จะได้ $f(x)=x^2+x+1$ ลองทำต่อจากที่ hint ไว้

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

วันนี้เงียบมากจริงๆ มาจนครบ 1 วันแล้ว

เพิ่มโจทย์อีกสักข้อ

กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้เมทริกซ์ $\bmatrix{3 & 5 \\ a & b}$ มีอินเวอร์สเป็นเมทริกซ์ซึ่งทุกสมาชิกเป็นจำนวนเต็ม $a$ และ $b$ เป็นจำนวนใด

จากโจทย์จะได้อินเวอร์สคือ $\frac{1}{3b-5a}\bmatrix{b & -5 \\ -a & 3} $

และสมาชิกเป็นจำนวนเต็ม ทำให้ $3b-5a=1,-1$ (เพราะต้องหาร -5 และ 3 ลงตัว)

แล้วก็แบ่งกรณีต่อ...

[-Math-Sci-]

ผมว่าข้อนี้มันน่าจะสวยที่ สมการล่างนะ

มีวิธีมองสมการล่างง่าย ๆ โดยไม่ใช้ช้อยส์(กฏของอินเตอเซค)รึเปล่าครับ ?

[poper]

$x^3+(1-\sqrt{3})x^2-(36+\sqrt{3})x-36=x^3+x^2-\sqrt{3}x^2-36x-\sqrt{3}x-36$
$=x^2(x+1)-\sqrt{3}x(x+1)-36(x+1)$
$=(x+1)(x^2-\sqrt{3}x-36)$

[Influenza_Mathematics]

กำหนด $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ โดย $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $y=2x-1$ ตัด $f(x)$ ที่$ x=1,2,3$ หา$ f(0)+f(4)$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

ขอบคุณพี่ไลค์ ครับ คือจะขอ hint ข้อฟังก์ัชัน แต่เหนมันเปน พหุนาม ก้เลยพูดพหุนาม 55

รบกวนพี่ไลค์ ไปเคลียข้อนี้ที่ให้ไว้หน่อยได้มั้ยครับ ?

ยังติดอยู่เลยครับ http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=7186&page=3

อ่อ ขอโทษทีครับที่ตอบช้า
ผมใช้เทียบดีกรี $f(x)-f(x-1)=2x$ ดูอ่ะครับ
สังเกตุว่า $Deg(f(x)-f(x-1))=n-1=1$ จะได้ $n=2$ ที่เหลือก็แก้สมการ
ได้ $f(x)=x^2+x+1$ อ่ะครับ แต่มันยังดูแปลกๆอยู่เลย
รบกวนเช็คด้วยนะครับ

ส่วนข้อที่ติดอยู่ ผมไม่รู้ว่าจะอธิบายโดยไม่ใช้ inverse ยังไงดี
${\frac{1}{1},\frac{1}{2} ,...,\frac{1}{p-1} }$ เป็น Complete residue system ของ p
จะได้ $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{(p-1)^2} \equiv (1^2+2^2+...+(p-1)^2 )\pmod{p} $

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

อ่อ ขอโทษทีครับที่ตอบช้า
ผมใช้เทียบดีกรี $f(x)-f(x-1)=2x$ ดูอ่ะครับ
สังเกตุว่า $Deg(f(x)-f(x-1))=n-1=1$ จะได้ $n=2$ ที่เหลือก็แก้สมการ
ได้ $f(x)=x^2+x+1$ อ่ะครับ แต่มันยังดูแปลกๆอยู่เลย
รบกวนเช็คด้วยนะครับ

ส่วนข้อที่ติดอยู่ ผมไม่รู้ว่าจะอธิบายโดยไม่ใช้ inverse ยังไงดี
${\frac{1}{1},\frac{1}{2} ,...,\frac{1}{p-1} }$ เป็น Complete residue system ของ p
จะได้ $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{(p-1)^2} \equiv (1^2+2^2+...+(p-1)^2 )\pmod{p} $

ขอบคุณมากครับ ตอนนี้เข้าใจแล้วครับ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

กำหนด $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ โดย $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $y=2x-1$ ตัด $f(x)$ ที่$ x=1,2,3$ หา$ f(0)+f(4)$

$y = 2x-1 $ ตัด $f(x)$ ที่ $x = 1 , 2 , 3 $

นั้นคือ $f(x)= 2x-1 = x^4+ax^3+bx^2+cx+d $

$(1,1),(2,3),(3,5)$


แทนใน $f(x)$
$f(0) = -1 = d $
$f(1)= 1 = 1+a+b+c+d$ --> $ a+b+c+d = 0 $
$f(2) = 3 = 16+8a+4b+2c+d$ --> $ 8a+4b+2c+d = -13 $
$f(3) = 5 = 81+27a+9b+3c+d $ --> $27a+9b+3c+d = -76 $

$a=-6 ,b=11 , c= -4 , d= -1 $

หา $f(0) + f(4)$

$f(0) + f(4) = d + 256+64a+16b+4c+d = -1 +256 -384 +176 -16 -1 = 30 $

[-Math-Sci-]

ข้อนี้คล้าย ๆ ข้อสอบทฤษฏีจำนวน ในค่าย 1

จริง ๆ แล้วมันไม่มีอะไรเลย

จงหาเศษจากการหาร $2^{2002} +2^{202} + 2^{22} $ด้วย$ 2^{10}-1$

ลืมบอกไปว่า ลองแก้โดยไม่ใช้ mod กับ ทวินาม ดูนะครับ

[-Math-Sci-]

เพิ่มโจทย์ไว้อีกข้อ

กำหนดให้ $a,b,c \in R $ และ $P(x) = ax^2+bx+c $ โดย $[P(x)]^5-x$

มี $x^3-6x^2+11x-6 $ เป็นตัวประกอบ แล้ว 7a+3b+2c มีค่าเท่าใด

ข้อนี้ไม่ยากครับลองทำดูก่อน

[-Math-Sci-]

หายไปไหนกันหมดอ่ะครับ ไม่มีใครทำเลยหรอ ??

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

ข้อนี้คล้าย ๆ ข้อสอบทฤษฏีจำนวน ในค่าย 1

จริง ๆ แล้วมันไม่มีอะไรเลย

จงหาเศษจากการหาร $2^{2002} +2^{202} + 2^{22} $ด้วย$ 2^{10}-1$

ลืมบอกไปว่า ลองแก้โดยไม่ใช้ mod กับ ทวินาม ดูนะครับ

ตอบ 12 วิธีก็ใช้พวกพหุนามเอาอ่ะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

เพิ่มโจทย์ไว้อีกข้อ

กำหนดให้ $a,b,c \in R $ และ $P(x) = ax^2+bx+c $ โดย $[P(x)]^5-x$

มี $x^3-6x^2+11x-6 $ เป็นตัวประกอบ แล้ว 7a+3b+2c มีค่าเท่าใด

ข้อนี้ไม่ยากครับลองทำดูก่อน

ตอบ $2+\sqrt[5]{3}-\sqrt[5]{2}$ วิธีทำก็สร้างระบบสมการแล้วก็จับบวกๆลบๆกัน

กำหนด$n\in \mathbb{N} $, $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆซึ่ง $x_i\not x_j$ ทุก $i\not j$
$y_1,y_2,y_3,...,y_m$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน
จงหาค่าคงที่ k ที่ซึ่งทำให้ระบบสมการ
$k(x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2)=y_1^2+y_2^2+y_3^2+...y_m^2$
$2m=n^2-n+2$
มีคำตอบ(คำตอบคือไอ่นี่นะ $y_1,y_2,y_3,...,y_m$ ) เสมอ

ปล.สำหรับโจทย์ข้อนี้ (ขอให้ภาษาพูดนะ ขี้เกียจนึกภาษาเขียน)
ไม่อยากให้ใช้วิธีแตกกระจายแบบเกรียนๆ เช่น เลือก $k=5=1^2+2^2$
แล้วให้ $y_1=x_1,y_2=2x_1$ อะไรทำนองนี้ งั้นผมก็เพิ่ม m เป็นพันล้านซะดีกว่า