ข้อสอบ สพฐ. รอบที่ 2 ปี 2553

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT OSK

โจทย์ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดย $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ $BC = 6 หน่วย$
ให้ $\pi = 3.14$ จงหา 100 เท่าของพื้นที่แรเงา

ตอบ 114 ตารางหน่วย

ใช้สามเหลี่ยมคล้าย

รัศมี = 2

ตอบ 114 ตารางหน่วย

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

มาช่วยกัน Post สพฐ รอบ 2 ม.ต้น
4.. $2^4+2^7+2^n$ จงหาจำนวน n ที่ทำให้จำนวนนี้เป็นกำลัง 2 สมบูรณ์ n คือ?

ข้อนี้ผมคิดได้8เหมือนกันแต่ใช้วิธีที่ถึกกว่าคนอื่น
ผมสมมุติว่า$2^4+2^7+2^n =144+2^n =(12+a)^2$ เมื่อ$a$เป็นจำนวนเต็ม
$(12+a)^2 = 12^2+24a+a^2 =144+2^n$ จะได้ว่า$24a+a^2 =2^n$
$a(24+a)=2^n$...เรารู้ว่า$2^n$เป็นจำนวนคู่ ซึ่งเกิดจากผลคูณของเลขคี่กับเลขคู่ หรือเลขคู่กับเลขคู่
จะได้ว่า$a$ต้องเป็นจำนวนคู่เท่านั้นจึงทำให้เกิดกรณีนี้ เขียน$a$ใหม่ว่า $a=2b$แทนลงไปอีก
$b(12+b) = 2^{n-2}$อีกเช่นกันด้วยหลักคิดข้างต้น$b$ย่อมเป็นจำนวนคู่ก็เขียน$b$ใหม่ว่า $b=2c$แทนลงไปได้
$c(6+c)=2^{n-4}$อีกเช่นกันด้วยหลักคิดข้างต้น$c$ย่อมเป็นจำนวนคู่ก็เขียน$c$ใหม่ว่า $c=2d$แทนลงไปได้
$d(3+d)=2^{n-6}$ในกรณีนี้$d$จะเป็นจำนวนคี่หรือจำนวนคู่ก็ได้......ความมั่วเริ่มจากตรงนี้..555555
ถ้า$d$เป็นเลขคู่ ก็เขียนแทนด้วย$d=2e$ จะได้ว่า$2e(2e+3)=2^{n-6}$....$e(2e+3)=2^{n-7}$ในกรณีนี้$e$จะเป็นเลขคู่เท่านั้นแทนด้วย$e=2f$
$2f(4f+3)=2^{n-7}$......$f(4f+3)=2^{n-8}$....$f$เป็นจำนวนคู่เท่านั้น แทน$f=2g$...$g(8g+3)=2^{n-9}$....ด้านนี้มันไปเรื่อยๆไม่ได้ค่า$n$แน่ๆ.....แสดงว่าที่สมมุตินั้นเป็นไปไม่ได้
ถ้า$d$เป็นจำนวนคี่ แทนด้วย$d=2m+1$ จะได้ว่า$(2m+1)(2m+4)=2^{n-6}$
......$(2m+1)(m+2)=2^{n-7}$ $m$ถูกล็อกให้เป็นเลขคู่
แทน$m=2n$จะได้ว่า$(4n+1)(n+1)=2^{n-8}$ $n$เป็นเลขคู่เท่านั้น แทน$n=2p$
$(8p+1)(2p+1)=2^{n-8}$...จะเห็นว่าพจน์$(4p+1)$และ$(2p+1)$เป็นจำนวนคี่ ซึ่งผลคูณเป็นเลขคี่อย่างเดียว กรณีเดียวที่เป็นได้คือ $p=0$ ทำให้ได้$1=2^0=2^{n-8}$
ดังนั้น$n-8=0$....$n$เท่ากับ$8$
ไม่รู้ว่าผมนั่งคิดได้ยังไง...ถึกชะมัดหยาดเลยครับ วิธีของคุณอาbankerกับน้องอีกคนสั้นกว่าเยอะ...คงต้องเรียนรู้และรื้อฟื้นเทคนิคของคนอื่นในบอร์ดแล้ว

[The jumpers]

ทำไม่ได้เลยยย จะติดมั้ยเนี่ยยย

[กิตติ]

อีกวิธีหนึ่งที่ตัดตอนมาจากตรงนี้..$a(24+a)=2^n$ เอา$8$หารออกมาเป็น
$a(3+\frac{a}{8})=2^{n-3}$.....จะได้ว่า$a$ต้องเป็นพหุคูณของ$8$...คือ$8,16,24,32,...$
ลองแทนค่าดูจะได้ว่า....$8\times (3+1)=32=2^5 =2^{n-3}$...$n$เท่ากับ$8$
ส่วนค่าอื่นลองแทนแล้วไม่สามารถเขียนด้วยรูป$2^n$ได้...เลยหยิบมาตอบเท่านี้
เริ่มรู้ตัวว่า..สนิมมันเกาะเยอะเลย ต้องใช้เวลาเคาะสนิม

[กิตติ]

เมื่อคืนไปเจอโจทย์อีกข้อหนึ่งในทำนองเดียวกันคือ...$2^8 + 2^{11}+2^n$...แล้วให้หาค่า$n$....ก็ลองวิธีที่คิดไว้อันแรก ปรากฏว่ามันบานไปเรื่อยๆไม่จบ หาค่าสุดท้ายของ$n$ไม่ออก....แสดงว่าวิธีที่ทำมานั้นมันผิด..แล้วก็ผิดจริงๆด้วย กลับไปนอนคิดเมื่อคืนจึงถึงบางอ้อ...เพราะว่าตรงนี้
$d(d+3)=2^{n-6}$.....ตรง$2^{n-6}$นั้นคือแยกเป็นตัวประกอบของ$2$ทั้งหมด คือเขียนอยู่ในรูปของการคูณของ$2$
มาดูที่$d(d+3)=2^{n-6}$....ค่าของ$d$นั้นต้องเขียนมาในรูปของ$2^a$เมื่อ$a$เป็นจำนวนเต็ม และ$d+3$ต้องเขียนในรูปของ$2^b$เมื่อ$b$เป็นจำนวนเต็ม....ซึ่งมีได้กรณีเดียวคือ $d=1=2^0$ จึงได้คำตอบค่า$n$ว่า$n=8$
สำหรับโจทย์$2^8 + 2^{11}+2^n$....ใช้วิธีของคนอื่นง่ายกว่าเยอะเลย

[RT OSK]

www.edbkk1.go.th
http://www.obec.go.th/fdownload/2010329153129.pdf

[กิตติ]

4.. $2^4+2^7+2^n$ จงหาจำนวน n ที่ทำให้จำนวนนี้เป็นกำลัง 2 สมบูรณ์ n คือ?

ข้อนี้มีวิธีหาคำตอบอีกวิธีหนึ่ง คือมองเป็นการกระจายพจน์ยกกำลังสอง$(A+B)^2$
$2^4+2^7+2^n =(2^2)^2+2(2^2)(2)^{\frac{n}{2}} +(2^{\frac{n}{2}})^2$
ดังนั้น$n=8$...วิธีนี้คุณเล็กในเวปวิชาการเฉลยไว้(ในบอร์ดนี้คือswitchGear)

[RT OSK]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อนี้มีวิธีหาคำตอบอีกวิธีหนึ่ง คือมองเป็นการกระจายพจน์ยกกำลังสอง$(A+B)^2$
$2^4+2^7+2^n =(2^2)^2+2(2^2)(2)^{\frac{n}{2}} +(2^{\frac{n}{2}})^2$
ดังนั้น$n=8$...วิธีนี้คุณเล็กในเวปวิชาการเฉลยไว้(ในบอร์ดนี้คือswitchGear)

วิธีคิดนี้ ดีมากเลยครับ
มีข้ออื่นๆอีกหรือเปล่า
ขอ link ด้วยครับ
ขอบคุณครับ

[SolitudE]

ข้อด้านบน ผมคิดแบบบ้านๆมากเลย - -

คำตอบเหมือนกันแต่ใช้เวลามากกว่า...

[กิตติ]

ไม่นึกว่าจะมีคนอ่าน....พอดีไปหาโจทย์เกี่ยวกับพีชคณิตมาทำ มีอยู่ข้อหนึ่ง ไม่แน่ใจว่าเป็นโจทย์ของสอวน.หรือของต่างประเทศ ลองเข้าไปตรงหน้ารวมกระทู้ของคุณเล็กเปิดอ่านดูเองแล้วกันครับ ผมลืมไปแล้วจริงๆ รวมกระทู้ของคุณเล็ก

[The jumpers]

สพฐ.เค้ามีบอกลำดับที่ป่ะเนี่ย อยากรุๆๆๆๆๆๆๆ

[nong_jae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The jumpers

สพฐ.เค้ามีบอกลำดับที่ป่ะเนี่ย อยากรุๆๆๆๆๆๆๆ

ไม่ประกาศลำดับคะ เรียงตามตัวอักษร

[กิตติ]

คุณRT OSK...เจอแล้วครับเป็นโจทย์ของ สอวน.จริงๆด้วยครับ
ในกระทู้นี้ครับ...มาร่วมกันเฉลยหนังสือ ทฤษฎีจำนวน ของ สอวน...