Concyclic

[dektep]

Let $A_1A_2$ be the external tangent line to the nonintersecting cirlces $\omega_1(O_1)$ and $\omega_2(O_2)$,$A_1\in\omega_1$,$A_2\in\omega_2$.Points $K$ is the midpoint of $A_1A_2$.And $KB_1$ and $KB_2$ are tangent lines to $\omega_1$ and $\omega_2$,respectvely($B_1\neq A_1$,$B_2\neq A_2$).Lines $A_1B_1$ and $A_2B_2$ meet in point $L$,and lines $KL$ and $O_1O_2$ meet in point $P$. Prove that points $B_1,B_2,P$ and $L$ are concyclic.

@tatari

อาจจะง่ายไปสำหรับคุณ tatari นะครับ

[Onasdi]

Hint 1

ให้ Q เป็นจุดที่วงกลมล้อมรอบ $\triangle LB_1B_2$ ตัด $KL$
1. $\square QKA_1B_1$ มีวงกลมล้อมรอบได้

Hint 2

2. $O_1$ ก็อยู่บนวงกลมในข้อหนึ่งด้วย

Hint 3

3. $\angle O_1QK=90^\circ$

[Tomoyo_jung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

Let $A_1A_2$ be the external tangent line to the nonintersecting cirlces $\omega_1(O_1)$ and $\omega_2(O_2)$,$A_1\in\omega_1$,$A_2\in\omega_2$.Points $K$ is the midpoint of $A_1A_2$.And $KB_1$ and $KB_2$ are tangent lines to $\omega_1$ and $\omega_2$,respectvely($B_1\neq A_1$,$B_2\neq A_2$).Lines $A_1B_1$ and $A_2B_2$ meet in point $L$,and lines $KL$ and $O_1O_2$ meet in point $P$. Prove that points $B_1,B_2,P$ and $L$ are concyclic.

สวยดีนะคะ
เนื่องจาก $KA_1=KB_1,KA_2=KB_2$ แต่ว่า $KA_1=KA_2$
ฉะนั้น $A_1,B_1,B_2,A_2$ อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกันโดยที่วงกลมนี้มีจุดศูนย์กลางที่ K
โดย power of point กับจุด Lโดยขึ้นกับวงกลมล้องรอบ $A_1,B_1,B_2,A_2$ เราได้ว่า $(LB_1)(LA_1)=
(LB_2)(LA_2)$
จาก L ลากเส้นไปสัมผัส $(O_1),(O_2)$ ที่ $X,Y$ ตามลำดับ
โดย power of point อีกครั้งกับจุด L แต่ขึ้นกับ $\omega_1(O_1)$ ; $(LB_1)(LA_1)=(LX)^2$
โดย power of point อีกครั้งกับจุด L แต่ขึ้นกับ $\omega_2(O_2)$ ; $(LB_2)(LA_2)=(LY)^2$
ฉะนั้น $LX=LY$ นั่นคือ L จะอยู่บน radical axis ของวงกลม $(O_1),(O_2)$
แต่สังเกตว่า $KA_1,KA_2$ สัมผัสวงกลม $(O_1),(O_2)$ ตามลำดับและ $KA_1=KA_2$
จึงไดว่า K ก็อยู่บน radical axis ของ $(O_1),(O_2)$ เช่นกัน
$\therefore KL$ เปน radical axis ของวงกลมสองวงนี้
แต่เนื่องจากวงกลมสองวงนี้ไม่ตัดกัน จึงได้ว่า $KL$ จะตั้งฉากกับ $O_1O_2$
ลาก$OA_1,OB_1$
ได้ว่า $\angle OA_1K=\angle OB_1K=90$ จึงง่ายที่จะแสดงว่า $A,O_1,B_1,P,K$ อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกัน ทำให้ไดว่า $\angle B_1PL=\angle B_1AK$ แต่จากที่$A_1,B_1,B_2,A_2$ อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกัน จึงได้ $\angle B_1AK=\angle B_1B_2L$
ทำให้เราได้ว่า $\angle B_1PL=\angle B_1B_2L$ ซึ่งก็คือสิ่งที่ต้องการ