เรื่อง log และ limit

[LightLucifer]

คืออยากทราบว่า
$\lim_{x \to \infty}f(x)=a^{\lim_{x \to \infty} log_a (f(x))}$

หรือไม่ครับ (with proof)

[LightLucifer]

คือผมไปเจอ lecture อันหนึ่งมาอ่ะครับ

เขาบอกว่า

$\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n =e^{\lim_{x \to \infty} ln(1+\frac{1}{n})^n }$

อ่ะครับ

คือตอนนั้นยังไม่รู้ว่า $(1+\frac{1}{n})^n=e$

[Amankris]

$a\in (0,1)\cup (1,\infty)$
$f(x)>0$ $\forall x$

$log_a(\lim_{x \to \infty} f(x))=\lim_{x \to \infty} (log_af(x))$

$\lim_{x \to \infty} f(x)=a^{\lim_{x \to \infty} (log_af(x))}$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

$a\in (0,1)\cup (1,\infty)$
$f(x)>0$ $\forall x$

$log_a(\lim_{x \to \infty} f(x))=\lim_{x \to \infty} (log_af(x))$ สงสัยบรรทัดนี้แหละครับ

$\lim_{x \to \infty} f(x)=a^{\lim_{x \to \infty} (log_af(x))}$

ขอดู proof หน่อยได้ไหมครับ

[LightLucifer]

ขอปลุกหน่อยครับ

[poper]

ผมเองก็ไม่รู้จะ proof ยังไงนะครับ ไม่แม่นเรื่องทฤษฎีลิมิตด้วย
แต่ก็เห็นว่ามันเป็นจริงอยู่แล้วอ่ะครับ
เพราะเรา take limit x-->$\infty$ เราก็สามารถแจกลิมิตเข้าไปในตัว $f(x)$ ได้เลยครับ
รอผู้รู้อีกทีครับ

[nooonuii]

มันเป็นสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องครับ

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้ว $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} f(x_n) = f(\lim_{n\to\infty} x_n)}$

จากที่ถามมาก็ให้

$x_n=\ln{\Big(1+\dfrac{1}{n}\Big)^n}$

$f(x)=e^x$

ดังนั้น


$\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \Big(1+\dfrac{1}{n}
\Big)^n=\lim_{n\to\infty}e^{\ln{(1+\frac{1}{n})^n}}}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\lim_{n\to\infty}f(x_n)}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=f(\lim_{n\to\infty} x_n)}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=e^{\lim_{n\to\infty}\ln{(1+\frac{1}{n})^n}}}$

[LightLucifer]

#7
มีพิสูจน์สมบัตินี้ไหมครับ

[nooonuii]

ตามนิยาม $f$ ต่อเนื่องที่จุด $x=a$ ถ้า $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}$

ข้อความนี้จะสมมูลกับข้อความที่ว่า

สำหรับทุกลำดับ $x_n\to a$ เราจะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(a)}$

เวลาเอาไปประยุกต์ใช้กับการหาลิมิตของลำดับเราจะอ้างอันแรกแล้วเอาอันที่สองไปใช้ครับ

ส่วนบทพิสูจน์หาได้จากหนังสือ Real Analysis

[LightLucifer]

THX มากครับ