Problems : Aviso I

[Slow_Math]

1.$\bmatrix{2 & 2^4 & 0&0&0 \\ 2^8 & 2^{16}& 0&0&0 \\ 0&0&5^2&5^3&5^4 \\ 0&0&5^4&5^6&5^8 \\ 0&0&5^6&5^8&5^{12}}$

$det(A)$ เป็นจำนวนเต็มกี่หลัก

2. จงหาจำนวนจริง $a$ ที่ทำให้ $A=\bmatrix{1 & 1 & 1 \\ 1 & a& 1\\ 1 & 1& a^2}$ มีสมบัติว่า $det(A^{10})=1$ มีทั้งหมดกี่จำนวน

3. จงหาค่าของ $i+2i^2+3i^3+........+2002i^{2002}$

4. จงหาจำนวนจริง $M$ ที่ทำให้ $|x^3-2x^2+3x-4| \leqslant M$ สำหรับทุก $x\in [-3,2]$

[Suwiwat B]

ลองข้อ 4 เเล้วกัน
ให้ $f(x) = x^3-2x^2+3x-4$
$f'(x) = 3x^2-4x+3 > 0$ สำหรับทุกๆ $x$ ที่เป็นจำนวนจริง
จะได้ว่า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
$f(-3) = -58 , f(2) = 2$
ดังนั้น $|x^3-2x^2+3x-4| \leqslant 58$ สำหรับ $-3\leqslant x\leqslant 2$

[Euler-Fermat]

3.
ให้ $A = i+2i^2+3i^3+........+2002i^{2002}............(1)$

$iA = i^2+2i^3+3i^4+........+2002i^{2003}..........(2)$

$(1)-(2) : A(1-i) = i+i^2+i^3+....+i^{2002} - 2002i^{2003}$

จาก $i+i^2+i^3+i^4 = 0$

$\therefore A(1-i) = i+i^2+i^3+....+i^{2002} - 2002i^{2003}$

$= i^{2001}+i^{2002}-2002i^{2003}$

$= 2003i-1$

ได้ $A = \dfrac{2003i-1}{1-i}$

คูณด้วยสังยุค

$A = -1002+1001i$

[แม่ให้บุญมา]

ข้อ 3 ลองวิธีแปลกๆดู
$S_{2012}=i(1+2i+3i^2+…+2002i^{2001})$
$S_{2012}=i \dfrac{d}{di}(i+i^2+i^3+…+i^{2002})$
$S_{2012}=i\dfrac{d}{di}\dfrac{i(i^{2002}-1)}{i-1}$
$S_{2012}=i\dfrac{d}{di}\dfrac{i^{2003}-i}{i-1}$
$S_{2012}=i \dfrac{(2003i^{2002}-1)(i-1)-( i^{2003}-i)(1) }{(i-1)^2}$
$S_{2012}=\dfrac{2002i^{2004}-2003i^{2003}+i}{(i-1)^2}$
$S_{2012}=\dfrac{2002+2003i+i}{-2i}$
$S_{2012}=\dfrac{2002+2003i+i}{-2i}$
$S_{2012}=-1002+1001i$

[Slow_Math]

มาเติมโจทย์

จงหาเซตคำตอบของสมการ $(x-|x-1|)(x^2-x) \geqslant 0$

กำหนด $x,y$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $|x|,|y| \not= \pi$ และ $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{\pi}=\dfrac{1}{x+y+\pi}$ ถ้า $x<3$ ค่า $y$ อยู่ในช่วงใด

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slow_Math

กำหนด $x,y$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $|x|,|y| \not= \pi$ และ $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{\pi}=\dfrac{1}{x+y+\pi}$ ถ้า $x<3$ ค่า $y$ อยู่ในช่วงใด

คูณกระจายเลยครับ แล้วจัดรูปนิดหน่อย

[Euler-Fermat]

$(x-|x-1|)(x^2-x) \geqslant 0$

$Case I : x \leqslant 1$

$(2x-1)(x)(x-1) \geqslant 0$

ได้ $ 0 \leqslant x \leqslant \dfrac{1}{2}, x =1 $

$Case II : x > 1 $

$(x)(x-1) \geqslant 0$

ได้ $ x > 1 $

นำ มา Union กันได้ $x \in [0,\dfrac{1}{2}]\cup [1,\infty )$


$|x|,|y| \not= \pi$ และ $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{\pi}=\dfrac{1}{x+y+\pi}$

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{\pi}=\dfrac{1}{x+y+\pi}$

กระจายออกมา ได้$ (xy+y\pi+x\pi)(x+y+\pi)-\pi xy = 0$

$(x+y)(x+\pi)(y+\pi) =0 $

เนื่องจาก $|x|,|y| \not= \pi$

$\therefore x = -y $

$x < 3 \therefore y > -3$