เลขยกกำลัง

[Cachy-Schwarz]

$2^n\left|\,\right. 2553^{24}-2553^{16}-2553^8+1$ แล้ว n ที่มากที่สุดมีค่าเท่าไหร่
ช่วย hint หรือแสดงวิธีทำด้วยคับ
ปล.ผมแยกตัวประกอบไปเเล้วเเต่ไปต่อไม่เป็น

[ราชาสมการ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ๛Cachy–Schwarz๛

$2^n\left|\,\right. 2553^{24}-2553^{16}-2553^8+1$ แล้ว n ที่มากที่สุดมีค่าเท่าไหร่
ช่วย hint หรือแสดงวิธีทำด้วยคับ
ปล.ผมแยกตัวประกอบไปเเล้วเเต่ไปต่อไม่เป็น

hint
พิจารณา $2553^n+1$ หารด้วย 4 ไม่ลงตัวแต่ 2 หารลงตัว

[BLACK-Dragon]

ผมไม่รู้ถูกไหมช่วยตรวจทีครับ

my solution

ให้ $A=2553$
$ 2553^{24}-2553^{16}-2553^8+1=(A-1)(A+1)(A^2+1)(A^4+1)(A^8+1)^2$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(2552)(2554)(2553^2+1)(2553^4+1)(2553^8+1)^2$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2^{3+1+1+1+1+1}\cdot (blah blah)$
$n=8$ใช่ไหมครับ

[ราชาสมการ]

@#3
ถูกแล้วครับ แต่ไอ้ $2553^2+1$ อะครับสงสัยว่าพิมตกเปล่าครับ ==''

[BLACK-Dragon]

#4

ขอบคุณที่ช่วยตรวจครับ

ผมคิดว่าน่าจะเป็นโจทย์ของ สพฐ.รอบ 2 ปีที่แล้วหรือเปล่าครับ

$(x^2−5x+6)^3+(x^2−9x+20)=8(x^2−7x+13)^2$

แก้สมการยังไงหรอครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

#4

ขอบคุณที่ช่วยตรวจครับ

ผมคิดว่าน่าจะเป็นโจทย์ของ สพฐ.รอบ 2 ปีที่แล้วหรือเปล่าครับ

$(x^2−5x+6)^3+(x^2−9x+20)=8(x^2−7x+13)^2$

แก้สมการยังไงหรอครับ

$x^2−7x+13=\frac{(x^2−5x+6)+(x^2−9x+20)}{2}$

ปล. แต่กระจายเอาก็ได้นะครับ

[ราชาสมการ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

#4

ขอบคุณที่ช่วยตรวจครับ

ผมคิดว่าน่าจะเป็นโจทย์ของ สพฐ.รอบ 2 ปีที่แล้วหรือเปล่าครับ

$(x^2−5x+6)^3+(x^2−9x+20)=8(x^2−7x+13)^2$

แก้สมการยังไงหรอครับ

ผมว่าhintดีกว่านะครับ
โจทย์จริงมันเป็นกำลังสามหมดไม่ใช่เหรอครับ ==''
ถ้าเป็นกำลังสามนะครับก็เสกตัวแปรใหม่เป็น
$(x^2−5x+6)=A$
$(x^2−9x+20)=B$
เราจะได้ว่า $2(x^2−7x+13)= A+B$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ราชาสมการ

ผมว่าhintดีกว่านะครับ
โจทย์จริงมันเป็นกำลังสามหมดไม่ใช่เหรอครับ ==''
ถ้าเป็นกำลังสามนะครับก็เสกตัวแปรใหม่เป็น
$(x^2−5x+6)=A$
$(x^2−9x+20)=B$
เราจะได้ว่า $2(x^2−7x+13)= A+B$

จริงด้วยผมไม่น่าเซ่อเลย ลืมดึง 2 ออกก็เลยคิดว่าบวกกันแล้วไม่เท่ากันขอบคุณมากๆครับ

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ราชาสมการ

hint
พิจารณา $2553^n+1$ หารด้วย 4 ไม่ลงตัวแต่ 2 หารลงตัว

คิดได้ n=13 คับ ขอบคุณมากคับ

[อยากเทพ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ผมไม่รู้ถูกไหมช่วยตรวจทีครับ

my solution

ให้ $A=2553$
$ 2553^{24}-2553^{16}-2553^8+1=(A-1)(A+1)(A^2+1)(A^4+1)(A^8+1)^2$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(2552)(2554)(2553^2+1)(2553^4+1)(2553^8+1)^2$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2^{3+1+1+1+1+1}\cdot (blah blah)$
$n=8$ใช่ไหมครับ

ช่วยตรวจสอบให้หน่อยครับ ผมงงว่าแยกตัวประกอบแล้วด้านบนมันคูณกลับไม่ได้เท่าเดิมอ่าครับ

[Influenza_Mathematics]

ลองข้อนี้ดูมั้ยครับ น่าสนุก
จงหาจำนวนนับ $n$ ที่น้อยที่สุดซึ่ง $2549|n^{2545}-2541$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ลองข้อนี้ดูมั้ยครับ น่าสนุก
จงหาจำนวนนับ $n$ ที่น้อยที่สุดซึ่ง $2549|n^{2545}-2541$

เปิดดูกระทู้เก่าๆ ก็เจอของสุดโหดเลยครับยากมาก

2549 เป็นจำนวนเฉพาะ(จากการตรวจสอบโดยเครื่องคิดเลข)

$n^{2548}\equiv 1 \pmod{2549}$ เมื่อ $(n,2549)=1$

จากที่ว่า $2549|n^{2545}-2541$ จะได้ว่า $2549|n^{2548}-2541n^3$

แสดงว่า $2549|1-2541n^3$

$-2541n^3 \equiv 8n^3 \pmod{2549} $

$n^{2548}+8n^3 \equiv 8n^3+1 \pmod{2549}$

$2n+1 = 2549$

$n=1274$

ไม่รู้ว่ามีน้อยกว่านี้ไหมนะครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

$2n+1 = 2549$

$n=1274$

งงตรงนี้อ่ะครับ มายังไง = ="

[No.Name]

$8n^3+1=(2n+1)(4n^2-2n+1)$

ถ้า $4n^2-2n+1=2549$ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มอ่ะครับ

แต่ปัญหาคือไม่แน่ใจว่าน้อยที่สุดหรือเปล่า

[Amankris]

#14
ก็ลองแสดงว่า $2549\nmid(4n^2-2n+1)$ สิครับ