ช่วยทำโจทย์สมการเชิงฟังก์ชันข้อนี้ให้หน่อยครับ

[qazswxddaasdfec]

สมมติ $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ เป็นฟังก์ชันลดซึ่ง

$f(x+y)+f(f(x)+f(y))=f(f(x+f(y)))+f(y+f(x))$ ทุก $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก

จงแสดงว่า $f(f(x))=x$

ช่วยทำโจทย์สมการเชิงฟังก์ชันข้อนี้ให้หน่อยครับ

[qazswxddaasdfec]

ถ้าโจทย์ผิดช่วยบอกด้วยนะครับ(พิสูจน์มาให้ด้วย)

[win1234]

มันเป็นสำหรับทุกจำนวนจริงบวกหรือเปล่าครับ หรือว่ามันถูกอยู่แล้ว

[qazswxddaasdfec]

ไม่แน่ใจว่าโจทย์ถูกหรือผิดครับ

[qazswxddaasdfec]

โปรดทำให้หน่อยเถอะครับ รอมานานเหลือเกินToT

[nooonuii]

คงไม่มีใครกล้าลงมือหรอกครับ เพราะคนถามยังไม่รู้เลยว่าโจทย์ถูกหรือผิด

[qazswxddaasdfec]

ไม่แน่ใจตรงฟังก์ชันลดนะครับ

[nooonuii]

ผมเห็นโจทย์ที่คล้ายๆกันเขามี ฟังก์ชันต่อเนื่องด้วยนะ แต่ฟังก์ชันลดก็ยังมีอยู่

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ qazswxddaasdfec

สมมติ $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ เป็นฟังก์ชันลดซึ่ง

$f(m+n)+f(f(m)+f(n))=f(f(m+f(n)))+f(n+f(m))$ ทุก $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

จงแสดงว่า $f(f(n))=n$

โจทย์เป็นเเบบนี้หรือป่าวครับ เพราะตอนเเรกคุณบอกว่า $f:R^+\rightarrow R^+$ เเต่ต่อมากลายเป็น สำหรับทุก $x,y$ ที่เป็นจำนวนนับอ่ะครับ เเล้วปกติผมว่าเค้าจะใช้เป็น $m,n$ ด้วยถ้าเป็นจำนวนนับอ่ะครับ

[TGM8]

โจทย์น่าจะผิดครับ ต้องแก้จากเต็มบวกเป็นจริงบวก และแก้เป็น (เดานะครับ น่าจะสมมาตร)
$$f(x+y)+f(f(x)+f(y))=f(f(x+f(y))+f(y+f(x)))$$
Hint:
1. $y=x$
2. $x=f(x)$
3. $f(f(x))>x$ หรือ $f(f(x))<x$

[AnDroMeDa]

http://www.artofproblemsolving.com/F...ional#p2662948

[kongp]

ลองสมมติ f(x) = Sin(x) แล้วแทนค่าในโจทย์ แต่โจทย์ต้องการคำตอบเป็นจำนวนเต็ม f(x) = Sin(x) อาจจะไม่เหมาะสมเท่าไรนัก เท่า Delta function หรือ Impulse Function ซึ่งหากจะให้พิสูจน์ถึงลักษณะ f(f(x)) = x ก็เหมือนถามว่า f(x) มีอินเวิสต์ฟังก์ชั่นไหม แต่ก็มีวิธีตอบปัญหานี้เยอะ เช่น การแปลง Z หรือ การทำ tabu


ดูในเวปแล้ว Ok ครับ นั่งคิดเองคงนาน เพราะไม่เคยซ้อมเรื่องการพิสูจน์ลึกๆ รึว่าห่างไปนานไม่รู้นะ แปลกตานิดๆ สมัยก่อนผมก็พยายามนั่งนึกว่าจะพิสูจน์อะไร(มีเพื่อนคิดได้เร็วกว่าผมบางที) พบว่าเยอะเรื่องจนงง ตรงนี้วัยวุฒิ(Majurity)มีส่วน เพื่อนก็มีส่วน เช่น เพื่อนผมเป็นโปลิโอ ขาดโอกาศที่จะสร้างครอบครัว ในฐานะเพื่อนผมก็เป็นห่วงเค้าเรื่องนี้ จิปาถะคนเรา

จนทำให้ผมนึกไปว่าวิชาวิทยาศาสตร์สาขาคณิตศาสตร์นี้ไกลตัวจากสังคมที่ผมอยู่ เพราะใช้เวลานานมากที่จะเข้าใจ ยิ่งทุกส่วน ยิ่งยาก อาจารย์ที่เก่งๆ มีที่รู้จัก ท่าออกถ่อมตัวหลังๆ นี้ รึว่ามองเราไม่น่าจะไปไกลสายนี้ จึงบอกปัดไปซะงั้นกันเสียเวลา