ข้อยาก Functional Equation

[Keehlzver]

Find all function f,g:R=>R satisfy: $f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)$ for all real numbers x,y

[จูกัดเหลียง]

ผมทำแบบนี้อ่ะครับ

$my$ $soln$

$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)$
เเทน $y\rightarrow x$
$f(x+g(x)) = xf(x) -xf(x)+g(x) \Rightarrow g(x)$
เเทน $g(x)\rightarrow x$
$f(2x)=x$ $\therefore $ $f(x)=\frac{x}{2}$
เเล้วเเทน ใน $Equation $ดั้งเดิม พบว่า $g(x)=x$ จริง
ดังนั้น $f(x)=\frac{x}{2}$ , $g(x)=x$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ผมทำแบบนี้อ่ะครับ

$my$ $soln$

$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)$
เเทน $y\rightarrow x$
$f(x+g(x)) = xf(x) -xf(x)+g(x) \Rightarrow g(x)$
เเทน $g(x)\rightarrow x$
$f(2x)=x$ $\therefore $ $f(x)=\frac{x}{2}$
เเล้วเเทน ใน $Equation $ดั้งเดิม พบว่า $g(x)=x$ จริง
ดังนั้น $f(x)=\frac{x}{2}$ , $g(x)=x$

ลองแทนดูในสมการหรือยังว่า จริง

การจะเเทน $g(x)\rightarrow x$ ต้องระวังด้วย มันจะต้องมีเงื่อนไขด้วย

คำตอบของมันคือ zero

[Keehlzver]

รบกวนคุณหยินหยางช่วย Full Solution ให้หน่อยได้ไหมครับ หรือ Step-Step Sketch ก็ได้ครับ

[หยินหยาง]

hint

รู้สึกว่าวิธีไม่ค่อยสวย

ผมใช้วิธีแบ่งคิดเป็น

$f(0) = 0$ กับ

$f(0) \not= 0$

[Keehlzver]

เท่าที่ผมลองดู ถ้าพิสูจน์ได้ว่า $g$ เป็น Surjective ก็จบเลย เเต่พิสูจน์ไม่ได้นี่เเหละครับ เราก็เลือกให้ $u$ เป็นค่าที่ทำให้ $g(u)=0$ เอาไปเเทนต่อได้ $f(x)=\frac{g(x)}{u+1}$

เเต่วิธีของคุณหยินหยางผมลองดูเฉพาะกรณีที่ $f(0)=0$ ยังเเก้ต่อไม่ได้เลยครับ Hint ยาวๆหน่อย

[จูกัดเหลียง]

ถ้า $f(x) =0$ คือ $g(x)=0$
ด้วย รึเปล่าครับ

[Keehlzver]

ใช่ครับ $f(x)=g(x)=0$ ทุกค่า $x$

ว่าเเต่ Solution???

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ใช่ครับ $f(x)=g(x)=0$ ทุกค่า $x$

ว่าเเต่ Solution???

ก็ให้ $f(x)=0$
ดังนั้น $f(x+g(y))=0$ $\Rightarrow$ $xf(y)-yf(x)=0$
นั่นคือ $g(x)=0$
มันเหมือนกับเราเดาไปเรื่อยๆเลยอ่ะครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

hint

รู้สึกว่าวิธีไม่ค่อยสวย

ผมใช้วิธีแบ่งคิดเป็น

$f(0) = 0$ กับ

$f(0) \not= 0$

กรณีที่ $f(0) \not= 0$ ทำยังไงอ่ะครับ Hint เพิ่มหน่อยได้ไหม
ผมได้แค่ว่ามี $a$ ที่ $f(a)=0$

ปล อยากรู้ source ของโจทย์นี้จัง

[kongp]

กรณีทั่วไป F(X) ต้องเท่ากับ อนุกรมอนันต์ที่ติดตัวแปร ใช่มั้ยครับ