โจทย์แคล2ครับ อนุกรมเทเลอร์ แมคลอริน ช่วยหน่อยครับ

[Man Pro Math]

จงแสดงว่า ถ้า z=x+yi เป็นจำนวนเชิงซ้อน (i=$\sqrt{-1}$) แล้ว e^{z} = e^{x}(cosy+isiny)

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Man Pro Math

จงแสดงว่า ถ้า $z=x+yi$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน (i=รูท-1) แล้ว $e^z = e^x(cosy+isiny)$

$e^z=e^{x+yi}=e^x\cdot e^{yi}=e^x(cosy+i\sin y)$
แบบนี้รึเปล่าครับ

[Man Pro Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

$e^z=e^{x+yi}=e^x\cdot e^{yi}=e^x(cosy+i\sin y)$
แบบนี้รึเปล่าครับ

e^yi=cosy+isiny ยังไงครับ ช่วยอธิบายหน่อยครับ

[Man Pro Math]

e^ix = cosx+sinx ไหมครับ
จากสูตรนี้ไหมครับ

[poper]

ใช่แล้วครับ ซึ่งผมนำสูตรมาใช้เลย โดยไม่ได้พิสูจน์นะครับ

[gon]

$$e^z=e^{x+iy}=e^x \cdot e^{iy} ~~~~~...(*)$$และเนื่องจาก $$e^x =\Sigma_{r=0}^{\infty}\frac{x^r}{r!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + ...$$ดังนั้น $$e^{iy} = 1 + (iy) + \frac{(iy)^2}{2!} + \frac{(iy)^3}{3!} + \frac{(iy)^4}{4!} + \frac{(iy)^5}{5!} + \frac{(iy)^6}{6!} + ...$$$$e^{iy} = (1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - \frac{y^6}{6!} +...)+ i(y - \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} - ...) = \cos y + i\cdot \sin y$$
แล้วก็แทนค่าในสมการ (*) ครับ.

[Man Pro Math]

ขอบคุณครับ เข้าใจแล้วครับผม