limit of sequence

[truetaems]

จงหาลิมิตของลำดับ $a_{n}=\sqrt{9^n - 3^n +1}-3^n$

[นกกะเต็นปักหลัก]

คอนจูเกตน่าจะได้นะครับ

ได้ 1 ครับผม

[lek2554]

\[\begin{array}{cl}
&\lim_{n \to \infty} (\sqrt{9^n-3^n+1} -3^n)\\
=&\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{9^n-3^n+1} -3^n)(\sqrt{9^n-3^n+1} +3^n)}{(\sqrt{9^n-3^n+1} +3^n)} \\
=&\lim_{n \to \infty} \frac{1-3^n}{\sqrt{9^n-3^n+1} +3^n}\\
=&\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{3^n}-\frac{3^n}{3^n}}{\frac{\sqrt{9^n-3^n+1}}{3^n}+\frac{3^n}{3^n}}\\
=&\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{3})^n-1}{\frac{\sqrt{9^n-3^n+1}}{\sqrt{9^n}}+1}\\
=&\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{3})^n-1}{\sqrt{\frac{9^n}{9^n}-\frac{3^n}{9^n}+\frac{1}{9^n} }+1}\\
=&\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{3})^n-1}{\sqrt{1-(\frac{1}{3})^n+(\frac{1}{9})^n }+1}\\
=&\frac{0-1}{\sqrt{1-0+0 }+1}\\
=&\frac{-1}{2}\\

\end{array} \]

[truetaems]

ขอบคุณครับ

[truetaems]

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}} } } $ มีค่าเท่าใด

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ truetaems

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}} } } $ มีค่าเท่าใด

หารด้วย $\sqrt{n} $ ทั้งเศษและส่วนก็จะเห็น

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}} } }=1 $