ข้อสอบ Real analysis ทำไม่ออกครับ

[Chronon]

Let $f$ be a real-valued differentiable function on $\mathbb{R}$ such that $sup\left\{\left|\ f^{'}(x)\right|\left.\,\right|x\in \mathbb{R} \right\}<1 $.
Fixed $s_{0}\in \mathbb{R} $. Let $s_{n}=f(s_{n-1})$ for $n\geqslant 1$. Proof that $\left\{s_{n}\right\}$ is a Cauchy sequence.

ผมทำได้แค่ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันลิปชิตส์ครับ แล้วก็ไปต่อไม่ถูกเลย รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ

[nooonuii]

มาถูกทางแล้วครับ แต่ต้องทำต่ออีกนิด

โดย Mean Value Theorem

$|f(x)-f(y)|\leq \alpha |x-y|$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$

เมื่อ $\alpha=\sup\left\{\left|\ f^{'}(x)\right|\left.\,\right|x\in \mathbb{R} \right\}$

ต่อไปลองพิสูจน์ว่า $|S_m-S_{m-1}|\leq \alpha^{m-1}|S_1-S_0|$ ทุก $m\in\mathbb{N}$

ดังนั้น ถ้า $m\geq n$ แล้ว

$|S_m-S_n|\leq |S_m-S_{m-1}|+|S_{m-1}-S_{m-2}|+\cdots +|S_{n+1}-S_n|$

$~~~~~~~~~~~~\leq (\alpha^{m-1}+\cdots+\alpha^n)|S_1-S_0|$

ลองต่อดูครับ ใช้ความจริงที่ว่าลำดับ

$T_n=1+\alpha+\cdots+\alpha^n$ เป็น Cauchy sequence เพราะว่า $\alpha < 1$

อีกวิธีคืออ้าง Banach Contraction Principle ครับ จบเลย

เพราะเรารู้ว่าฟังก์ชันมันเป็น contraction และ $\mathbb{R}$ complete

จะได้ว่าลำดับ $\{S_n\}$ ลู่เข้า และจะได้ Cauchy ทันที

แต่คิดว่าจุดประสงค์ของผู้ออกโจทย์คงอยากให้เราพิสูจน์ตรงๆมากกว่า

ซึ่งก็คือบทพิสูจน์ของ Banach Contraction Principle นั่นเองครับ

[Chronon]

ไอ้หยา... ไม่นึกว่าจะโหดขนาดนี้แฮะ ขอบคุณมากครับ

(ว่าแต่ตอนสอบผมจะรู้ได้ยังไงว่าต้องได้อนุกรมสุดท้ายนั่นออกมาน่ะครับ หรือว่าต้องอาศัยศรัทธาอย่างเดียว แหะๆ)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Chronon

ไอ้หยา... ไม่นึกว่าจะโหดขนาดนี้แฮะ ขอบคุณมากครับ

(ว่าแต่ตอนสอบผมจะรู้ได้ยังไงว่าต้องได้อนุกรมสุดท้ายนั่นออกมาน่ะครับ หรือว่าต้องอาศัยศรัทธาอย่างเดียว แหะๆ)

ส่วนอนุกรมนี่ทำแบบนี้ก็ได้ครับ

$\alpha^{m-1}+\cdots+\alpha^n=\alpha^n(1+\alpha+\cdots+\alpha^{m-n-1})<\dfrac{\alpha^n}{1-\alpha}$

แล้วก็ใช้แค่ $\alpha^n\to 0$

[kongp]

ถ้า Sn เป็นสมาชิกของ C หรือ R^3 ซึ่งต้องแก้โจทย์ให้ f เป็น Complex-valued differentiable function (ขอโทษด้วยครับสัญลักษณ์ผมใส่ไม่เก่ง คงเข้าใจความหมายนะครับ) และถามต่อนะครับว่า ค่า n นี่มากที่สุดได้เท่าไหร่ครับ ? เพราะจริงๆ แล้ว ที่ว่า n>=1 มีปัญหาเวลาจำนวนเทอมของอันดับมากๆ แน่

[kongp]

สมัยผมศึกษาต้องหาอ่านเอง อ่านตามเวปตอนเรียนไม่ค่อยมีแฮะ หรือผมไม่รู้ก็เป้นได้