อสมการครับ

[James007]

ช่วยคิดหน่อยครับ
จงพิสูจน๋ว่า
$$\sqrt[3]{\frac{x}{y+z}}+\sqrt[3]{\frac{y}{z+x}}+\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\geq 2$$
ขอบคุณครับ

[kheerae]

เหมือนเคยเห็นในบอร์ดแล้วนะครับ แต่ผมจำไม่ได้ว่าอยู่ห้องไหน

[SpammingMan]

ทำได้แต่อันที่ weak กว่าแหะ
$a,b,c\geq 0$
$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$
...คุณ James007 ทำอันที่ weak กว่าได้หรือยัง?
ส่วนข้อของคุณ James007 ผมหวังว่าผมจะทำออกในไม่กี่วันข้างหน้านี้...

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

ช่วยคิดหน่อยครับ
จงพิสูจน๋ว่า
$$\sqrt[3]{\frac{x}{y+z}}+\sqrt[3]{\frac{y}{z+x}}+\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\geq 2$$
ขอบคุณครับ

Hint:

$\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}>\dfrac{2x^{2/3}}{x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}}$

[WLOG]

สวัสดีเจ้าค่ะ บังเอิญเพิ่งใช้บอร์ดเป็นครั้งแรก เลยอยากลอง $LaTeX$ บ้างอะค่ะ เรามีอสมการที่แข็งกว่าเดิมดังนี้ค่ะ (โจทย์ดังเดิมนับว่าง่ายมาก)
สำหรับ $a,b,c \in \mathbb{R}^+_0$
$$\sum\limits_{cyc} {\sqrt[3]{{\frac{a}{{b + c}}}}} \ge 2 \sqrt{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1} \ge 2 $$

[WLOG]

สำหรับโจทย์ข้อนี้ คิดว่า Hint ของคุณ nooonuii จะดูยากไปหน่อย เลยมี Hint ของโจทย์ตั้งต้นดังนี้
\[\sum\limits_{cyc} {\sqrt[3]{{\frac{x}{{y + z}}}}} \ge \sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{{{x^{2/3}}}}{{{y^{2/3}} + {z^{2/3}}}}} } \ge 2\]
(ใช้ความจริงที่ว่า $\sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{x}{{y + z}}} } \ge 2$)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SpammingMan

ทำได้แต่อันที่ weak กว่าแหะ
$a,b,c\geq 0$
$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$
...คุณ James007 ทำอันที่ weak กว่าได้หรือยัง?
ส่วนข้อของคุณ James007 ผมหวังว่าผมจะทำออกในไม่กี่วันข้างหน้านี้...

ฉันว่าอสมการที่คุณ James007 โพสต์มา weak กว่านะค่ะ

[SpammingMan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ WLOG

สำหรับโจทย์ข้อนี้ คิดว่า Hint ของคุณ nooonuii จะดูยากไปหน่อย เลยมี Hint ของโจทย์ตั้งต้นดังนี้
\[\sum\limits_{cyc} {\sqrt[3]{{\frac{x}{{y + z}}}}} \ge \sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{{{x^{2/3}}}}{{{y^{2/3}} + {z^{2/3}}}}} } \ge 2\]
(ใช้ความจริงที่ว่า $\sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{x}{{y + z}}} } \ge 2$)

ฉันว่าอสมการที่คุณ James007 โพสต์มา weak กว่านะค่ะ

ขอโทษด้วยครับ อสมการของคุณ James weak กว่าจริงๆจากที่คุณ WLOG โพสมาก็เห็นได้ชัด แต่แค่พอดีผม bound แบบที่ผม bound ใน $\sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{x}{{y + z}}} } \ge 2$ ไม่ออก
ผมทำแบบนี้อะครับ
$(\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a}{b+c}})^2(\sum_{cyc} a^2(b+c))\geq (\sum_{cyc} a)^3$
จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$(a+b+c)^3\geq 4\sum_{sym} a^2b$
ก็ต่อเมื่อ $\sum_{cyc} a(a-b)(a-c)+3abc\geq 0$ ซึ่งเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด
ส่วน Hint ของคุณ noounuii ส่วนตัวคิดว่าเป็น basic idea นะครับเหมือนกับอสมการ IMO ปีเก่าๆซักปีที่จริงๆแล้วใช้ holder ทีเดียวจบ ซึ่งก็สามารถทำได้ในทำนองเดียวกันคือ
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$
ขอโทษด้วยครับที่ spam

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ WLOG

สวัสดีเจ้าค่ะ บังเอิญเพิ่งใช้บอร์ดเป็นครั้งแรก เลยอยากลอง $LaTeX$ บ้างอะค่ะ เรามีอสมการที่แข็งกว่าเดิมดังนี้ค่ะ (โจทย์ดังเดิมนับว่าง่ายมาก)
สำหรับ $a,b,c \in \mathbb{R}^+_0$
$$\sum\limits_{cyc} {\sqrt[3]{{\frac{a}{{b + c}}}}} \ge 2 \sqrt{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1} \ge 2 $$

เยี่ยมครับ หามาได้ไงเนี่ย

[SpammingMan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ WLOG

สวัสดีเจ้าค่ะ บังเอิญเพิ่งใช้บอร์ดเป็นครั้งแรก เลยอยากลอง $LaTeX$ บ้างอะค่ะ เรามีอสมการที่แข็งกว่าเดิมดังนี้ค่ะ (โจทย์ดังเดิมนับว่าง่ายมาก)
สำหรับ $a,b,c \in \mathbb{R}^+_0$
$$\sum\limits_{cyc} {\sqrt[3]{{\frac{a}{{b + c}}}}} \ge 2 \sqrt{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1} \ge 2 $$

โจทย์ใหม่ก็ไม่ยากมากนะครับ bound แบบที่ผมทำข้อ $\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$ ก็ได้แล้ว
จาก
$\sum_{cyc} \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}\geq \sum_{cyc}
\sqrt{\frac{a^\frac{2}{3}}{b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}}}$
จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$\sum_{cyc} \sqrt{\frac {a^\frac{2}{3}}{b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}}}\geq 2 \sqrt{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1} \ge 2$
แต่จากอสมการ holder เราได้ว่า
$(\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^\frac{2}{3}}{b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}}})^2(\sum_{cyc} a^\frac{4}{3}(b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}))\geq (sum_{cyc} a^\frac{2}{3})^3$
ก็เราเหลือจะต้องพิสูจน์ว่า (หลังจากใช้ schur กำจัด $4\sum_{sym} a^\frac{4}{3}b^\frac{2}{3}$)
$3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(abc)^\frac{1}{3}(\sum_{sym} a^\frac{4}{3}b^\frac{2}{3})$
หรือ
$3\sum_{sym} x^6y^3+6x^3y^3z^3\geq 4\sum_{sym} x^5y^3z$
แต่จาก AM-GM เราได้ว่า $\sum_{cyc} (x^6y^3+x^6y^3+x^3y^3z^3)+(x^3y^6+x^3y^6+x^3y^3z^3)\geq 3\sum_{cyc} x^5y^3z+x^3y^5z$
ที่เหลือก็แค่พิสูจน์
$\sum_{sym} x^6y^3\geq \sum_{sym} x^5y^3z$ ซึ่งเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัดครับ (muirhead)
ขอโทษด้วยครับที่ spam

[WLOG]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SpammingMan

โจทย์ใหม่ก็ไม่ยากมากนะครับ bound แบบที่ผมทำข้อ $\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$ ก็ได้แล้ว
จาก
$\sum_{cyc} \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}\geq \sum_{cyc} \sqrt{a^\frac{2}{3}}{b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}}$
จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$\sum_{cyc} \sqrt{\frac {a^\frac{2}{3}}{b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}}}\geq 2 \sqrt{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1} \ge 2$
แต่จากอสมการ holder เราได้ว่า
$(\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^\frac{2}{3}}{b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}}})^2(\sum_{cyc} a^\frac{4}{3}(b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}))\geq (sum_{cyc} a^\frac{2}{3})^3$
ก็เราเหลือจะต้องพิสูจน์ว่า (หลังจากใช้ schur กำจัด $4\sum_{sym} a^\frac{4}{3}b^\frac{2}{3}$)
$3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(abc)^\frac{1}{3}(\sum_{sym} a^\frac{4}{3}b^\frac{2}{3})$
หรือ
$3\sum_{sym} x^6y^3+6x^3y^3z^3\geq 4\sum_{sym} x^5y^3z$
แต่จาก AM-GM เราได้ว่า $\sum_{cyc} (x^6y^3+x^6y^3+x^3y^3z^3)+(x^3y^6+x^3y^6+x^3y^3z^3)\geq 3\sum_{cyc} x^5y^3z+x^3y^5z$
ที่เหลือก็แค่พิสูจน์
$\sum_{sym} x^6y^3\geq \sum_{sym} x^5y^3z$ ซึ่งเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัดครับ (muirhead)
ขอโทษด้วยครับที่ spam

ลองใช้อสมการโคชีทุกอย่างจะง่ายขึ้น

[SpammingMan]

หืม...ส่วนตัวยังทำวิธีโคชีไม่ออกนะ...แต่คิดว่าน่าจะได้ใช้การที่
$\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
ตอบคำถามของพี่ noounuii...
ถ้าผมจำไม่ผิดข้อนี้มันเป็นโจทย์ข้อสอบในค่ายธันวาสสวทปีเก่าๆนะครับ? จำไม่ได้เหมือนกันว่าปีไหน (ไม่ค่อยแน่ใจนะครับ)

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SpammingMan

หืม...ส่วนตัวยังทำวิธีโคชีไม่ออกนะ...แต่คิดว่าน่าจะได้ใช้การที่
$\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
ตอบคำถามของพี่ noounuii...
ถ้าผมจำไม่ผิดข้อนี้มันเป็นโจทย์ข้อสอบในค่ายธันวาสสวทปีเก่าๆนะครับ? จำไม่ได้เหมือนกันว่าปีไหน (ไม่ค่อยแน่ใจนะครับ)

ไม่ใช่ข้อสอบค่ายธันวาแล้วครับ ข้อนี้มันง่ายเกินกว่าจะเป็นข้อสอบค่ายฟอสซิล

[SpammingMan]

แต่ข้อสอบในค่าย สสวท ปีเก่าๆมันง่ายนิครับ? ไม่เหมือนปีใหม่ๆ...ที่ยากขึ้นมากๆๆๆๆ โดยเฉพาะอสมการ
แต่ถ้าคุณ Anonymous314 ว่างั้นก็คงจริงแหละมั้งครับ ตัวผมเองก็จำโจทย์ไม่ค่อยได้แล้ว เพราะเคยทำมาแล้วนานพอสมควร

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

ช่วยคิดหน่อยครับ
จงพิสูจน๋ว่า
$$\sqrt[3]{\frac{x}{y+z}}+\sqrt[3]{\frac{y}{z+x}}+\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\geq 2$$
ขอบคุณครับ

A.M.-G.M. Inequality , Homogeneous Inequality ; $x+y+z=1$
\[\sum_{cyc}\sqrt[3]{\frac{x}{y+z}}=3\sum_{cyc}\frac{x}{3\sqrt[3]{y+z}\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x}}\geqslant 3\sum_{cyc}\frac{x}{2x+y+z}=3\sum_{cyc}\frac{x}{x+1}.\]