The length of curve proving

[Redhotchillipepper]

ลองโจทย์ของผมข้อนี้ดูบ้างครับ


มีเส้นกราฟ 2 เส้นใดๆ ที่มีความยาวเส้นโค้งเท่ากัน ในช่วง x = a ถึง x = b ใดๆ และทุกๆจุดใน

ช่วง x = a ถึง x = b นี้ เส้นกราฟทั้งสองต่างก็มีความชัน ณ 0 จงพิสูจน์ว่า ในช่วง x = a ถึง

x = b นี้ มีจุดที่เส้นกราฟทั้งสองมีความชันเท่ากัน อย่างน้อย 1 จุด

[nongtum]

ตัวอย่างค้านง่ายๆ:
ให้ $f(x)=x,\ g(x)=-x$ เป็นฟังก์ชันบนช่วง $[-a,a]$ เมื่อ $a\in\mathbb{R}$ จะพบว่าบนช่วงนี้'ความยา่ว'ของกราฟทั้งสองก็เท่ากัน เพราะมันคือเส้นแทยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหมือนกัน แต่ความชันที่ทุกจุดของ $f$ และ $g$ เป็น 1 และ -1 ตามลำดับ

แก้ไข: อ่านโจทย์ผิดครั้งแรก

[Redhotchillipepper]

เข้าใจครับ แต่จากโจทย์ผมระบุว่า ให้ในช่วง x = a ถึง x = b ใดๆ เส้นกราฟทั้งสองต่าง

ก็มีความชันทุกๆจุด ณ 0 นะครับ ลองดูสิครับ

[nongtum]

โอเคครับ งั้นก็เส้นตรงที่มีความชันเป็นบวกสองเส้นที่ความชันไม่เท่ากันก็เกินพอที่จะค้านครับ

ฝึกพิมพ์ TeX ได้แล้วครับ

แก้ไข: ขออภัยครับ พลาดง่ายๆจนได้

[Redhotchillipepper]

แต่ยังงั้นมันก็มีความยาวเส้นไม่เท่ากันน่ะสิครับ มันค้านกับโจทย์น่ะคับ ต้องให้ความ

ยาวเส้นมันเท่ากัน และ ทั้งสองมีความชันเป็นบวกทั้งคู่ และเส้นกราฟทั้งสองสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกๆ

จุดในช่วง x = a ถึง x = b ใดๆ ( พูดง่ายๆก็คือ เส้นโค้งแบบ smooth น่ะครับ ) ถ้าพิสูจน์แล้วจะพบว่า

ต้องมีอย่างน้อย 1 จุด ในช่วงค่า x = a ถึง x = b ใดๆ ที่เส้นกราฟทั้งสองมีความชันเท่ากัน

ลองพิสูจน์ดูสิครับ

[nongtum]

งั้นก็น่าจะบอกแต่แรกว่ากราฟมัน smooth เพราะหากไม่บอก ผมก็ยังหาตัวอย่างค้านได้อยู่ดี

หากผมยังผิด ผมขอดูวิธีทำคุณ Redhotchillipepper หน่อยสิครับ ไม่แน่ว่าผมอาจมองข้ามอะไรไปก็ได้

ข้อนี้น่าจะไปตั้งที่ห้องปัญหาคณิตศาสตร์ โอลิมปิก และ อุดมศึกษามากกว่านะครับ

[nooonuii]

พิจารณา $h(x) = \sqrt{1+[f'(x)]^2} - \sqrt{1+[g'(x)]^2}$
ถ้า $h(x)>0$ ทุกค่า $x\in [a,b]$ หรือ $h(x)<0$ ทุกค่า $x\in [a,b]$
เราจะได้ว่า
$\displaystyle{ \int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx > \int_a^b\sqrt{1+[g'(x)]^2} \, dx }$
หรือ
$\displaystyle{ \int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx < \int_a^b\sqrt{1+[g'(x)]^2} \, dx }$

ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานของโจทย์

ดังนั้น $h(x_0) = 0$ สำหรับบางค่า $x_0\in [a,b]$
นั่นคือ $f'(x_0) = g'(x_0)$ เนื่องจาก $f',g'\geq 0$
ดังนั้น มีจุดซึ่งเส้นโค้งทั้งสองมีความชันเท่ากัน

[nongtum]

ขอบคุณคุณ nooonuii ครับ ผมจะได้ย้ายกระทู้นี้ไปห้องอุดมศึกษา(ซะที)นะครับ

เป็นอีกครั้งทีี่ผมเล่นกระทู้ตอนอารมณ์เสียแล้วตอบคำถามผิด ขาดความรอบคอบไปเลย สงสัยต้องพิจารณาตัวเองใหม่แล้วกระมัง

[Redhotchillipepper]

คุณ nooonuii พิสูจน์ได้คล้ายๆกับของผมเลยครับ ของผมคิดว่าให้เส้นกราฟทั้งสองมีความยาว

เท่ากันก่อน คือ ๒ h(x) dx = 0 ( h(x) เอามาจากสมการของพี่หนุ่ยนะครับ )

จากสมการนี้ก็สรุปได้ว่า h(x) ต้องมีการตัดแกน x ในช่วง x = a ถึง x = b แน่นอน ดังนั้นสรุปได้ว่าใน

ช่วง x = a ถึง x = b ต้องมีจุดที่กราฟทั้งสองมีความชันเท่ากันอย่างน้อย 1 จุดแน่นอน