ช่วยพิสูจน์ Liner Analysis ข้อนี้หน่อยค่ะ

[khlongez]

Let $E$ be a set in metric space $\chi $. If $x$ is a cluster point of a sequence from $E$ , then $\bar E$ , while , if $x \in \bar E$ , that is a sequence from $E$ that converges to $x$ .

บอกตามตรงว่าเราอ่านแล้วงงมาก ไม่เข้าใจความหมายของโจทย์ว่าเขาต้องการให้เราพิสูจน์อะไร

พอดีว่าภาษาอังกฤษไม่แข็งแรงพอมาเจอสำนวนแบบนี้ก็ไปไม่เป็นเลย

อย่างน้อยรบกวนช่วยแปลโจทย์เป็นภาษาไทยให้เราก็ยังดีค่ะ

ส่วน $\bar E$ ก็คือ closure ของ $E$ ค่ะ

ขอบคุณล่วงหน้านะคะ

[Onasdi]

อ่านไม่รู้เรื่องเหมือนกันครับ -_-"

[Magic Math]

โจทย์น่าจะเป็นว่า x is an element of the closure of E ก็ต่อเมื่อ มีลำดับใน E ซึ่งลู่เข้าสู่ x
พิสูจน์ไม่ยากครับ ข้างหนึ่งใช้นิยาม อีกข้างที่ยากกว่าต้องสร้างลำดับโดยการหดบอลลงเรื่อยๆ

[ครูนะ]

ภาพเห็นแต่เขียนนี่ซิยาก

พิสูจน์

จะพิสูจน์ว่า $[\lim_{n \to \infty}x_{n}] = a$

โดยที่ $x_{n}$ อยู่ใน E และ a เป็นจุดลิมิตของ E (Cluster Point)

ขอใช้ a แทน x ครับ เพราะมันคล้ายๆ กัน กลัวมึน

[ครูนะ]

ให้ a อยู่ใน E' (จุดลิมิตของ E) ที่ทุก n อยู่ใน N (จำนวนนับ)

,$B(a,1/n) \cap$ E - {a} $\not= \emptyset$

ดังนั้น จะมี $x_{1}$ อยู่ใน E - {a} ซึ่ง $0 < d(x_{1},a) < 1$

ให้ $\varepsilon_{1}$ = min{1/2,$d(x_{1},a)$}$

ดังนั้น $B(a,$\varepsilon_{1}$)$ \cap$ E - {a} $\not = \emptyset$

[ครูนะ]

ต่อไปจะเป็นขั้นตอนการหดบอล

เลือก $X_{2}$ เป็นจุดใน B(a,$\varepsilon_{1}$) $\cap$ E-{x}

ซึ่ง 0 < $d(x_{2},a)$ < $\varepsilon_{1}$ $\leq$ 1/2

ให้ $\varepsilon_{2}$ = min{1/3,$d(x_{2},a)$}

ดังนั้นมี $x_{3}$ อยู่ใน B(a,$\varepsilon_{2}$) $\cap$ E - {a}

[ครูนะ]

แล้ว d($x_{3}$,a) < 1/3 และ $x_{3}$ ไม่เท่ากับ $x_{2}$ และ

$x_{3}$ ไม่เท่ากับ $x_{1}$

ดำเนินการหดบอลในลักษณะนี้ไปเรื่อยๆ

จะได้ลำดับ $x_{n}$ ซึ่งเป็นจุดใน E ซึ่ง d($x_n$,a) < 1/n และ

$x_{n}$ ไม่เท่ากับ $x_{m}$ ที่ทุก m < n

[ครูนะ]

เพราะฉะนั้น ที่ทุก $\varepsilon$ > 0 จะมี N อยู่ในจำนวนนับ ที่ทุก n $\geq$ N

และ $\varepsilon$ > 1/N

d($x_{n}$,a) < 1/n $\leq$ 1/N < $\varepsilon$

เพราะฉะนั้น ลำดับ $x_{n}$ ลู่เข้าสู่ a