ช่วยคิดหน่อยครับ

[cactus]

เพิ่งสมัครสมาชิกใหม่ ฝากโจทย์มา 1 ข้อ มีวิธีคิดง่ายๆไหมครับ

$\frac{1}{\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+\frac{1}{19}+\ frac{1}{20}}$

[nongtum]

นอกจากรวมกันตรงๆผมก็นึกไม่้ออกเหมือนกันครับ หากเป็นข้อสอบก็ข้ามข้อนี้ไปก่อนได้เลย แล้วค่อยมาเก็บทีหลัง

[Redhotchillipepper]

ผมพอจะมีวิธีคิดลัดบ้างนะ คงพอทุ่นเวลาได้บ้างล่ะมั้ง

ใช้หลักการสมมาตรสิครับ จากตัวส่วน 11,12,13,....,20 จะเห็นว่ามีความสมมาตรกันอยู่คือ

20+11 = 19+12 = 18+13 = 17+14 = 16+15 = 31

จากโจทย์จะได้ = 1/( 31 )( 1/220 + 1/228 + 1/234 + 1/238 + 1/240 )

= 2/(31)( 1/110 + 1/114 + 1/117 + 1/119 + 1/120 )

ทำได้แค่นี้แหละ 5555 ที่เหลือก็ใช้ความสามารถเฉพาะตัวละกันนะครับ ไปละ

[nooonuii]

ผมว่าวิธีคิดของคุณ Redhotchillipepper น่าจะดีที่สุดแล้วล่ะครับ ใครมีวิธีคิดที่ดีกว่านี้ก็ขอคำชี้แนะด้วยครับ ขอขยายความ วิธีคิดของคุณ Redhotchillipepper ให้อ่านง่ายขึ้นนะครับ

$\displaystyle{ \frac{1}{11} + \frac{1}{12} +\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+\frac{1}{19}+\frac{1}{20} }$

$\displaystyle{ = (\frac{1}{11} + \frac{1}{20} ) +(\frac{1}{12}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{13}+\frac{1}{18})+(\frac{1}{14}+\frac{1}{17})+(\frac{1}{15}+\frac{1}{16}) }$

$\displaystyle{ = \frac{31}{2}\Big\{\frac{1}{110} + \frac{1}{114} +\frac{1}{117}+\frac{1}{119}+\frac{1}{120}\Big\} }$

$\displaystyle{ = \frac{31}{2}\Big\{\frac{230}{110 \cdot 120} + \frac{230}{114\cdot 119} +\frac{1}{117}\Big\} }$

$= \cdots$

[banker]

โจทย์ข้อนี้คุ้นๆว่า เคยเอามาถามที่เว็บบอร์ดนี้ แต่โจทย์ที่ว่าเคยถาม เป็นดังนี้

จงหาค่าของ

$\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+\frac{1}{19}+\frac{1}{2 0}$

ซึ่งโดยสรุปในตอนนั้นก็คือ ทำแบบมวยวัด หา ค.ร.น. เอา

[cactus]

ขอบคุณสำหรับทุกคำตอบ ขอฝากโจทย์อีกข้อครับ

ในการสอบความสามารถทางวิชาคณิตศาสตร์ครั้งหนึ่ง มีข้อสอบ 80 ข้อ นิดหน่อยทำผิด 20 ข้อ
ใบบัวทำผิด 25 ข้อ นิดหน่อยสอบได้คะแนนมากกว่าใบบัวกี่เปอร์เซนต์

ก. 6.25 % ข. 7.09 % ค. 8.33% ง. 91.6%

[Mastermander]

ต่างกัน 5 ข้อใน 80 ข้อ

ดังนั้นต่างกัน $ \frac{5}{80} \times 100=6.25\% $

[cactus]

ข้อนี้ถ้าคิดเทียบกับคะแนนของนิดหน่อย จะตอบ
$ \frac{5}{60}$ X100=8.33%

คำตอบที่ถูกที่สุดน่าจะเป็น 6.25% หรือ 8.33%
ใครมีความคิดเห็นอย่างไรบ้างครับ

[banker]

โจทย์ข้อนี้คุ้นๆแฮะ

โจทย์ข้อนี้คลุมเคลือไปหน่อย
1. "มีข้อสอบ 80 ข้อ นิดหน่อยทำผิด 20 ข้อ" โจทย์ไม่ได้กำหนดว่าที่เหลือ 60 ข้อ นิดหน่อยทำข้อสอบหรือเปล่า ถ้าทำ ทำหมดทุกข้อไหม หรือมีบางข้อหมดเวลาไปก่อน กาไม่ทัน เติมคำตอบไม่ทัน

"ใบบัวทำผิด 25 ข้อ " ก็เหมือนกับนิดหน่อย

2. และโจทย์ก็ไม่ได้บอกว่า แต่ละข้อคะแนนเท่ากันหรือเปล่า


แต่ไม่เป็นไร ให้ผู้ทำโจทย์คิดเอาเองว่า ที่เหลือทำถูกหมด และทุกข้อมีคะแนนเท่ากัน ก็แล้วกัน

นั่นก็แปลว่า นิดหน่อยทำถูก 60 ข้อ ใบบัวทำถูก 55 ข้อ
นิดหน่อยได้ 60 ข้อ มากกว่าใบบัว 5 ข้อ คิดเป็น % ก็เท่ากับ $\frac{5}{60}$ x 100 = 8.33 % ตอบข้อ ค.

แต่ถ้าคิดอีกแบบว่า นิดหน่อยได้ 60ข้อจาก 80 ข้อคิดเป็น 75 %
ส่วนใบบัวได้ 55 ข้อจาก 80 ข้อคิดเป็น 68.75 %
ดังนั้น% ของนิดหน่อยมากว่าใบบัว 6.25 % ตอบข้อ ก.

คุณcactus คงสงสัยว่าเขาถามอะไร ---"นิดหน่อยสอบได้คะแนนมากกว่าใบบัวกี่เปอร์เซนต์" ตรงนี้ใช่ไหมครับ

ถ้าข้อสอบข้อละ 1 คะแนน นิดหน่อยได้60 คะแนน ใบบัวได้ 55 คะแนน นิดหน่อยได้คะแนนมากกว่าใบบัว 5 คะแนน ถ้าพิจารณาจากคำถาม "นิดหน่อยสอบได้คะแนนมากกว่าใบบัว" จึงควรคิดจาก 60 คะแนนของนิดหน่อย ในความเห็นของผม ข้อนี้จึงควรตอบ 8.33 %

[breeze123]

(1/(x-10))-(1/(x-5))=(1/(x-7))-(1/(x-2))
สมการลักษณะนี้มีวิธีแก้ยังไงคับ

[Mastermander]

ให้ $y=\dfrac1x$

จะได้ $y-10 - (y-5) = y-7 - (y-2)$

คงเหลือ $-5=-5$

หมายถึงเป็นจริงสำหรับทุกจำนวน y ดังนั้น เซตคำตอบคือ เอาที่ส่วนเป็น 0 ออกไป

$x= \mathbf{R} - \{0\}$

[gon]

ข้อความเดิมของคุณ breeze123:
(1/x-10)-(1/x-5)=(1/x-7)-(1/x-2)
สมการลักษณะนี้มีวิธีแก้ยังไงคับ

ถ้าเขียนแบบข้างต้น หมายถึง $(\frac{1}{x} - 10) - (\frac{1}{x} - 5) = (\frac{1}{x} - 7) - (\frac{1}{x} - 2)$

เพราะว่าเราจะทำหารก่อนบวกลบครับ ซึ่งเป็นจริงเสมอสำหรับ x ที่ตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ครับ
(คือมีคำตอบมากมานับไม่ถ้วน)

ถ้าจะหมายถึง

$\frac{1}{x-10} - \frac{1}{x-5} = \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-2}$

เวลาเขียนแบบข้างบนต้องใส่วงเล็บที่ตัวส่วนครับ.

[Tinyo Dragonn]

วิธีคิด

$\frac{1}{x-10}-\frac{1}{x-5} = \frac{1}{x-7}-\frac{1}{x-2}$

$\frac{1}{x-10}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-7}+\frac{1}{x-5}$

คูณไขว้

$\frac{(x-2)+(x-10)}{(x-10)(x-2)} = \frac{(x-5)+(x-7)}{(x-7)(x-5)}$

$\frac{2x-12}{(x-10)(x-2)} = \frac{2x-12}{(x-7)(x-5)}$

เนื่องจากตัวเศษเท่ากัน แต่ตัวส่วนไม่เท่ากัน ตัวเศษจึงเป็น 0 ได้อย่างเดียว สมการจึงจะเป็นจริง

\ 2x-12 = 0

2x = 12

x = 6

[Peterpan]

ขอแนะอีกวิธีที่ลัดหน่อย แต่อาจใช้ไม่ได้ทุกกรณีเสมอไป

เอาตัวส่วนมาบวกกันทั้งหมด ได้ 4x-24 ให้เท่ากับ 0 ดังนั้น x = 6 ...วิธีนี้ทำให้ได้คำตอบเร็วดีครับ แต่ก่อนตอบควรลองแทนค่าดูก่อนนะครับ

[Switchgear]

สำหรับผลรวม 1/11 + ... + 1/20 ของคุณ banker นั้น

จำได้ว่าคุณ GFK เคยเฉลยว่าเราใช้การอินทิเกรต 1/x จาก x = 10.5 ถึง x = 20.5 ได้
ผลการอินทิเกรต จะได้ฟังก์ชัน ln(x) เมื่อแทนค่าก็จะได้
1/11 + ... + 1/20 ~ ln(20.5/10.5) = 0.66905 ~ 0.669

หากคำนวณจริงๆ จะได้ 1/11 + ... + 1/20 = 0.66871 ~ 0.669