ฝึกอินทิเกรตกัน

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander

แถมให้อีกข้อ
Given $a>0$. Evaluate $\displaystyle{ \int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\tan^{-1}x}{x} \,\,d x }$

ปล. โจทย์ที่ผมโพสมีเฉลยอยู่แล้วในที่นี่ถ้าอยากรู้คำตอบเร็วก็ลองค้นหาดูก็ได้ครับ

ผมว่าโจทย์มันเริ่มจะ...
คำตอบข้อนี้คือ
\[
\frac{\pi }{2}\ln a
\]

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ให้ $u=\sqrt{t}+3$ ได้ $dt=2(u-3) du$
แทนในโจทย์ได้ $\int \frac{\cos u}{u-3}\cdot 2(u-3)du$
$=2\int \cos u du$
$=2\sin u +c$
$=2\sin (\sqrt{t}+3)+c$
ถูกหรือเปล่า
เพิ่มมาอีกครับ
Evaluate เมื่อ $h$ คือค่าคงตัว
$$\int \frac{dx}{(x^2+h^2)^{\frac{3}{2}}}$$

ข้อนี้ขอ hint ด้วยนะคับ

[JamesCoe#18]

ข้อ $\int ln(x^2+x+1)dx$
ไม่เฉลยให้ดูหน่อยหรอคับคุณV.Rattanapon

[JamesCoe#18]

มาเพิ่มให้
$$\int x\sqrt[3]{x+4} dx$$

ให้ $u=x+4$

$du=dx$

$\int(u-4)u^{1/3}du$ เพราะ $u=x+4,x=u-4$

$\frac{3}{7}u^{\frac{7}{3}}-3u^{\frac{4}{3}}+C$

$\frac{3}{7}(x+4)^{\frac{7}{3}}-\frac{3}{4}(x+4)^{\frac{4}{3}}+C$

$\frac{3}{7}\sqrt[3]{(x+4)^7}-3\sqrt[3]{(x+4)^4}+C$

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

ข้อ $\int ln(x^2+x+1)dx$
ไม่เฉลยให้ดูหน่อยหรอคับคุณV.Rattanapon

\[
\int {\ln \left( {x^2 + x + 1} \right)dx = x\ln } \left( {x^2 + x + 1} \right) - \int {\frac{{2x^2 + x}}{{x^2 + x + 1}}dx}
\]
\[
= x\ln \left( {x^2 + x + 1} \right) - \int {\left( {2 - \frac{1}{2}\left( {\frac{{2x + 1}}{{x^2 + x + 1}}} \right) - \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{{x^2 + x + 1}}} \right)} \right)} dx
\]
\[
= x\ln \left( {x^2 + x + 1} \right) - \left( {2\int {dx - \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{x^2 + x + 1}}} \right)d\left( {x^2 + x + 1} \right) - \frac{3}{2}\int {\frac{{d\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}}{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2 }}dx} } } } \right)
\]
\[
= x\ln \left( {x^2 + x + 1} \right) - 2x + \frac{1}{2}\ln \left| {x^2 + x + 1} \right| + \sqrt 3 \arctan \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}} \right) + c
\]

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

ข้อนี้ขอ hint ด้วยนะคับ

ลองให้\[
x = h\tan \theta
\]
ข้อนี้ผมทำได้ 2 วิธีครับ

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ V.Rattanapon

ลองให้\[
x = h\tan \theta
\]
ข้อนี้ผมทำได้ 2 วิธีครับ

จาก $x=h\tan\theta$

จะได้ $d\theta = \frac{dx}{hsec^2\theta}$

แทนในโจทย์ $\int\frac{hsec^2d\theta}{(h^2(sec^2\theta))^{3/2}}$

$\int\frac{cos\theta}{h^2}d\theta$

$\frac{sin\theta}{h^2}+C$

$\frac{x}{h^2\sqrt{x^2+h^2}}+C$ จาก $tan\theta =\frac{x}{h}$ จะได้ $sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}$

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

จาก $x=h\tan\theta$

จะได้ $d\theta = \frac{dx}{hsec^2\theta}$

แทนในโจทย์ $\int\frac{hsec^2d\theta}{h^2(sec^2\theta)}$

$\int\frac{1}{h}d\theta$

$\frac{1}{h}arctan(\frac{x}{h})+C$

ผมว่ามันผิดนะครับ

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ V.Rattanapon

ผมว่ามันผิดนะครับ

แก้ให้แล้วนะคับ

[JamesCoe#18]

$$\int \frac{1}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}} dx $$[/quote]

ข้อนี้ขอ hint อีกข้อคับ

$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2}+1)}dx$

[Mastermander]

โอเคครับ เอาง่ายๆลงมาหน่อย
\[
\int {\frac{{x^2 - x^3 }}{{1 - x^3 }}dx}
\]

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander

โอเคครับ เอาง่ายๆลงมาหน่อย
\[
\int {\frac{{x^2 - x^3 }}{{1 - x^3 }}dx}
\]

$\int\frac{x^2(1-x)}{(1-x)(x^2+x+1)}dx$

$\int\frac{x^2dx}{(x^2+x+1)}dx$

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

มาเพิ่มให้
$$\int x\sqrt[3]{x+4} dx$$
$\int(u-4)u^{3/2}du$

ยังไม่ถูกนะครับ ไม่ใช่ $(x+4)^{\frac{3}{2}}$ นะครับ มันคือรากที่สามเฉยๆ
ผมเฉลยละกัน
$$\int x\sqrt[3]{x+4} dx $$
$$u=\sqrt[3]{x+4} , u^3-4=x$$
$$3u^2du=dx$$
$$\int (u^3-4)(u)(3u^2)du$$
$$=3\int u^6-4u^3 du$$
$$=3(\frac{u^7}{7}-u^4) + c$$
$$=\frac{3(\sqrt[3]{x+4})^7}{7}-3(\sqrt[3]{x+4})^4+c$$
ปล.ถูกไหมอิอิ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

ข้อนี้ขอ hint อีกข้อคับ

วิธีทำเลยนะครับ
$$\int \frac{x}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}} dx $$
$$u=1-x^2 , -\frac{1}{2}du=xdx$$
$$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u+\sqrt{u}} du$$
$$v=\sqrt{u} , v^2=u , 2vdv=du$$
$$-\frac{1}{2} \int \frac{2v}{v^2+v} dv$$
$$=- \ln |v+1|+c=-\ln |\sqrt{u}+1|+c$$
$$=-\ln |\sqrt{1-x^2}+1|+c$$
ปล.ช่วยตรวจด้วยครับ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

วิธีทำเลยนะครับ
$$\int \frac{1}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}} dx $$
$$u=1-x^2 , -\frac{1}{2}du=xdx$$
$$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u+\sqrt{u}} du$$
$$v=\sqrt{u} , v^2=u , 2vdv=du$$
$$-\frac{1}{2} \int \frac{2v}{v^2+v} dv$$
$$=- \ln |v+1|+c=-\ln |\sqrt{u}+1|+c$$
$$=-\ln |\sqrt{1-x^2}+1|+c$$
ปล.ช่วยตรวจด้วยครับ

ข้อนี้ให้ \[
u = \sqrt {1 - x^2 }
\]
ที่เดียวเลยก็ได้ครับ