ฝึกอินทิเกรตกัน

[Mastermander]

เพิ่มให้อีก 3
1. \[
\int\limits_0^1 {\frac{{x^{2009} - 1}}{{\ln x}}} dx
\]
2. \[
\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{3 + \sin x}}} dx
\]
3. \[
\int_0^1 {\left( {e - 1} \right)\sqrt {\ln \left( {1 + x\left( {e - 1} \right)} \right)} {\kern 1pt}+e^{x^2} dx}
\]

[JamesCoe#18]

ข้อ 1) ของคุณ mastermander ตอบ ln2010 ใช่ไหมคับ ??

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

เพิ่มอีกคับ

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(|sin\theta|+sin\theta)d\theta$

$\int\frac{dx}{\sqrt{-x^2+4x+12}}$

$\int\frac{dx}{x(3-ln\sqrt{x})}$

$\int\frac{secxdx}{\sqrt{ln(secx+tanx)}}$

$\frac{ln2log_2x}{x}dx$

$\int\frac{dx}{x(log_8x)^2}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{(7+e^{2tan^2\theta)}.sin\theta d\theta}{cos^3\theta}$

$\int_{0}^{\sqrt{ln\pi}}2xe^{x^2}cose^{x^2}dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}7^{cost}sintdt$

$\int\frac{cos^3x}{1-sinx}dx$

$\int(sin^{-1}x)^2dx$

$\int x^2\sqrt{1-x^2}dx$

$\int_{-\infty }^{\infty}2|x|e^{-x^2}dx$

$\int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x}-1}$

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\pi}(|cos\theta|+sin^2\theta)d\theta$

มาขุดคับมาช่วยรับไปทำกันด้วยนะคับ อิอิ

[Mastermander]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

ข้อ 1) ของคุณ mastermander ตอบ ln2010 ใช่ไหมคับ ??

ใช่ครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

$\int e^{ax}sin(bx)dx$ a,b เป็นค่าคงตัว

ใช้ integration by parts
ให้ $u=e^{ax}$ ได้ $du=ae^{ax} dx$ และให้ $dv=\sin(bx) dx$ ได้ $v=-\frac{1}{b}\cos(bx)$
$$\int e^{ax}sin(bx)dx=-\frac{1}{b}e^{ax}\cos(bx)-\int -\frac{1}{b}ae^{ax}\cos(bx)dx$$
ได้สมการที่1
$$=-\frac{1}{b}e^{ax}\cos(bx)+\frac{a}{b}\int e^{ax}\cos(bx)dx $$
ใช้ integration by parts ครั้งที่2
ให้ $u=e^{ax}$ ได้ $du=ae^{ax}dx$ และให้ $dv=\cos(bx)dx$ ได้ $v=\frac{1}{b}\sin(bx)$
ได้สมการที่2
$$\int e^{ax}\cos(bx)dx=\frac{1}{b}e^{ax}\sin(bx)-\frac{a}{b}\int e^{ax}\sin(bx)dx $$
(2) แทนใน (1)
$$\int e^{ax}\sin(bx)dx=-\frac{1}{b}e^{ax}\cos(bx)+\frac{a}{b}(\frac{1}{b}e^{ax}\cos(bx)-\frac{a}{b}\int e^{ax}\sin(bx)dx)$$
$$=-\frac{1}{b}e^{ax}\cos(bx)+\frac{a}{b^2}e^{ax}\cos(bx)-\frac{a^2}{b^2}\int e^{ax}\sin(bx)dx)$$
$$\frac{a^2+b^2}{b^2}(\int e^{ax}\sin(bx)dx)=-\frac{1}{b} e^{ax}\cos(bx)+\frac{a}{b^2}e^{ax}\cos(bx)$$
$$\int e^{ax}\sin(bx)dx=\frac{b^2}{b^2(a^2+b^2)}e^{ax}(a\sin(bx)-b\cos(bx))+c$$
$$=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin(bx)-b\cos(bx))+c$$

[JamesCoe#18]

ดึงตัวร่วมผิดไปนิดหน่อยคับบรรทัดลองสุดท้าย

[Ne[S]zA]

สงสัยใส่วงเล็บเกินมาอิอิ
ขอบคุณครับ

[JamesCoe#18]

ปล.น้องเนสเฉลยข้อของ

$\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx$

ด้วยนะคับ

[Ne[S]zA]

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx$$
let
$$x=2\sin \theta, dx=2\cos \theta d\theta$$
and from the triangle we get $\tan \theta = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$
Substitute
$$\int 2x\tan \theta \cos \theta d\theta=2\int \sin \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta$$
$$=2\int 2\sin^2\theta d\theta=2\int 1-\cos 2\theta d\theta=2\theta - 2\sin \theta \cos \theta+c$$
$$2\arcsin \frac{x}{2}-2\cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}+c$$
$$=2\arcsin \frac{x}{2}-\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+c$$

[Ne[S]zA]

$$\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x}-1}$$
ข้อนี้หาได้หรอครับ??
ผมได้ถึง
$$2[\sqrt{x}+\ln |\sqrt{x}-1|]_1^2$$
พอแทนค่าเข้ามันมีพจน์ของ $\ln 0 $ อ่ะครับ จะคิดยังไงครับ??

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

$$\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x}-1}$$
ข้อนี้หาได้หรอครับ??
ผมได้ถึง
$$2[\sqrt{x}+\ln |\sqrt{x}-1|]_1^2$$
พอแทนค่าเข้ามันมีพจน์ของ $\ln 0 $ อ่ะครับ จะคิดยังไงครับ??

Hint ดึงตัวร่วม $\sqrt{x}(1-sqrt{x})$

[คusักคณิm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

Hint ดึงตัวร่วม $\sqrt{x}(1-\sqrt{x})$

แก้latexให้อิอิ

ฝากโจทย์



เฉลย....(ทำเองอิๆ)
http://integrals.wolfram.com/index.jsp

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

แก้latexให้อิอิ

ฝากโจทย์



เฉลย....(ทำเองอิๆ)
http://integrals.wolfram.com/index.jsp

อ่าขอบคุณคับ

ข้อ1) improperintegral $\int\frac{dx}{(x+2)(x+3)}=lim_{a\to\infty}\int_0^a(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3})$

$ln\frac{|x+2|}{|x+3|}]_{0}^{a}$

$ln\frac{|a+2|}{|a+3|}$

ตอบ $\frac{1}{3}$ ใช่ไหมคับ ??
ข้อ2) บายพาส+improperintegral

[gnopy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander

เพิ่มให้อีก 3
1. \[
\int\limits_0^1 {\frac{{x^{2009} - 1}}{{\ln x}}} dx
\]
2. \[
\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{3 + \sin x}}} dx
\]
3. \[
\int_0^1 {\left( {e - 1} \right)\sqrt {\ln \left( {1 + x\left( {e - 1} \right)} \right)} {\kern 1pt}+e^{x^2} dx}
\]

ข้อ 2 ตอบ $\sqrt{2}arctan(\sqrt{2})$ หรือปล่าวครับ ทดแป๊ปๆ

[Ne[S]zA]

$$\int x^2\sqrt{1-x^2}dx$$
let
$$x=\sin \theta, dx=\cos \theta d\theta$$
Substitute
$$\int \sin^2\theta \cos^2\theta d\theta=\frac{1}{4}\int 1-\cos^2(2\theta ) d\theta$$
$$=\frac{1}{4}[\int 1 d\theta -\int \cos^2 (2\theta ) d\theta ]$$
$$=\frac{\theta}{4}-\frac{1}{4}\int \frac{1}{2}(1+\cos(4\theta )) d\theta$$
$$=\frac{\theta}{4}-\frac{1}{8}\int 1+\cos(4\theta ) d\theta$$
$$=\frac{\theta}{4}-\frac{1}{8}[\int 1 d\theta + \frac{1}{4}\int \cos (4\theta ) d(4\theta)]$$
$$=\frac{\theta }{4}-\frac{1}{8}(\theta + \frac{\sin (4\theta)}{4})+c$$
$$=\frac{1}{4}\arcsin x -\frac{1}{8}(\arcsin x +\frac{\sin 4(\arcsin x)}{4})+c$$
ปล.ข้อที่แล้วดึงตัวร่วมยังไงหรอครับ