โจทย์ความน่าจะเป็น

อิอิ...รู้สึกว่าผมจะทำผิดไปไกลเลย(อีกแล้ว!) ขอบคุณคุณ
TOP มากเลยครับที่ช่วยแสดงวิธีทำให้ผมได้เห็นที่ผิดของ
ตัวเอง แล้วก็ขอบคุณที่ช่วยรัน simulation ให้ซะเยอะเลย
ว่างๆผมจะลองกลับไปแก้ไขและรันใหม่ดูอีกที ได้ผลยังไง
แล้วจะมาเล่าให้ฟังนะครับ

หยุดนี้ไม่ได้ไปเที่ยวไหน เลยถือโอกาสแก้ไขโปรแกรมแล้วรันใหม่
คราวนี้ทำ 100,000,000 ครั้ง ตัดกัน 23,148,932 ครั้ง
หรือประมาณ 23.15% ครับ เป็นอันว่า 3 คนต่างคนต่างทำ
ได้ผลสอดคล้องกัน ตอนนี้ก็เหลือแต่ว่าโจทย์นี้จะมี analytic
solution หรือไม่ วอนผู้รู้ช่วยตอบด้วยนะครับ

Date: 12 Jul 2001 08:39:30 GMT
From: Mike ROBSON <robson@serveur3-1.labri.u-bordeaux.fr>
Newsgroups: sci.math.research
Subject: Re: A probability problem

On Thu, 12 Jul 2001 06:15:06 +0700, Warut Roonguthai <warut@ksc9.th.com> wrote:
>Someone asked me the following question that I couldn't solve:
>
>If we randomly select 2 points from a closed rectangular region and draw
>the line segment joining them. Then, randomly select another 2 points in
>this rectangle and draw the line segment joining these 2 points, too.
>What is the probability that these 2 line segments intersect?
>
>Monte Carlo simulations tell me that the probability is around 0.23 and
>is independent of the dimension of the rectangle. Is this a well-known
>problem? Does it has an analytic solution? Are there any references to
>this problem?
>
>Thanks in advance.
>Warut
>

The fact that the probability doesn't depend on the dimensions is fairly
obvious since linear scaling takes intersecting segments into intersecting
segments so let's assume the rectangle is in fact a square of side 1.

Consider choosing the 4 points by first choosing a set of four and then
choosing their order. If the four points form a triangle and a point in
the interior of the triangle, no order gives an intersection, otherwise
one third of them do.
So your probability is a third of the probability that the four points form
a convex quadrilateral, (which must be well known?)

Date: 12 Jul 2001 03:15:40 -0700
From: "Robert B. Israel" <israel@math.ubc.ca>
Newsgroups: sci.math.research
Subject: Re: A probability problem

The probability is exactly 25/108.

Note that the conditional probability of the segments intersecting,
given that the four points are (in any order) the vertices of
a convex quadrilateral, is 1/3 (i.e. of the three ways of pairing
up the vertices, one will have intersecting line segments). The
conditional probability, given that the four points form a
non-convex (non-degenerate) quadrilateral, i.e. one is in the
convex hull of the other three, is 0 (the segments can not
intersect in this case). So your probability is 1/3 the
probability that four random points in a rectangle are the
vertices of a convex quadrilateral. And that probability is
"well-known" to be 25/36. IIRC that result is due to
Sylvester.

Robert Israel israel@math.ubc.ca
Department of Mathematics (604) 822-3629
University of British Columbia fax 822-6074
Vancouver, BC, Canada V6T 1Z2

Date: Thu, 12 Jul 2001 13:44:03 +0200
From: Matthias Mahnke <acegi@web.de>
Newsgroups: sci.math.research
Subject: Re: A probability problem

Concerning your questions, there are many problems of this kind
around.
The Buffon needle problem surely the oldest and probably the most widely known.
If you are interested in the mathematics of theese,
you my want to look at

\bibitem[Stoyan et al.]{stokenmeck}
D.~Stoyan, W.~S.~Kendall,J.~Mecke\\
{\bf Stochastic Geometry and its Applications}\\
Wiley series in probability and statistics\\
John Wiley \& Sons, second Ed. 1995

In most of this kind of problems you have to rely on
simulations, which are often (like yours) easy to program.
Still some are quite tricky, like the 2d "lilly pond model".
For this last problem see:

D.J.Dalay, C.L.Mallows, L.A.Shepp
A one-dimensional Poisson groth model with non-overlapping intervals
Stochastic Processes and their Applications 90 (2000) 223-241
(1 dim. case)

D.J.Dalay, H.Stoyan, D.Stoyan
The volume fraction of a Poisson germ model with maximally
non-overlapping sperical grains
Adv. Appl. Prob. 31, 610-624 (1999)
(2 dim. case, mostly very tricky simulations)

Regards Matthias

ตกลงเป็นอันว่าค่าความน่าจะเป็นที่คุณ tunococ อยากทราบ
มีค่าเท่ากับ 25/108 = 0.23148148... นะครับ

[TOP]

ขอบคุณ คุณ warut มากๆเลยครับ ที่ได้เอาคำถามนี้ไปถามใน news group จนได้รับคำตอบที่แท้จริงมา (ที่ news group นี่สุดยอดจริงๆนะครับ ไม่รู้ว่าคิดกันได้ยังไง)

ตอนนี้ยังแปลบางส่วนไม่ออกเลย อย่างคำว่า "convex quadrilateral" นี่มันเป็นสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าแบบไหนหรือครับ แล้วความน่าจะเป็นของสี่เหลี่ยมแบบนี้ ที่บอกว่า "well-known" นี่ท่าทางว่าจะ "well-known" จริงๆ เพราะสังเกตว่า รู้กันแทบทุกคนเลย (แต่เราไม่ยักรู้ )

[gon]

ไป ๆ มา ๆ ก็มีข้อสรุปจนได้นะครับ.
ใครมาดูครั้งแรกครั้งเดียวนี่ คงปวดหัวแหง ๆ เลย ฮ่า
ผมก็นั่งดูอย่างเดียวมานานแล้ว

[TOP]

ไปค้นมาหน่อยนึง "convex quadrilateral" คือรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า ซึ่งไม่มีการเว้า (เช่นสี่เหลี่ยมที่มีรูปร่าง เหมือนบูมเมอแรง) ลองดูรูปข้างล่างเป็นตัวอย่างนะครับ

จากรูป ACDE เป็น convex quadrilateral แต่ ABCE ไม่ใช่เนื่องจากมีการเว้า

ตามความเห็นของผมแล้ว คำว่า "quadrilateral" น่าจะ
หมายถึง สี่เหลี่ยม (ใดๆ, เฉยๆ) มากกว่าการเจาะจงลงไปว่า
เป็นสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่านะครับ

คุณ TOP อุตส่าห์ช่วยทำรูปประกอบมาให้อย่างนี้แล้วก็คง
จะช่วยให้เข้าใจการพิสูจน์ได้ง่ายขึ้นนะครับ

[TOP]

เห็นด้วยครับ พอดีผมแปลจาก Dictionary ตรงๆ ความจริงแล้วมันควรจะเป็นสี่เหลี่ยมทั่วๆไปมากกว่า แบบที่คุณ warut ว่าไว้นั่นละครับ

[tunococ]

ขอบคุณครับ ที่หาคำตอบมาให้
ผมไม่ได้มาเยี่ยมที่นี่นานพอควร ไม่นึกว่าจะรื้อของเก่ามาคิดกัน

ยังไงๆก็ขอบคุณมากๆขอรับ